Типы разрывов

А. Пусть существуют конечные f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х₀функция f(x) имеет разрыв I рода или скачек.

График функции f(x) в окрестности точки х₀ имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х₀.

Б. Если хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х₀ в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

Точка z ₀, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f (z), если такая, что f (z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f (z) нарушается).

Изолированная особая точка z ₀ функции f (z) называется:

устранимой особой точкой, если существует и конечен;

Для того чтобы особая точка функции f (z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z ₀ - устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f (z) имеет вид: (1)
для z ₀ - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

1. Теоремы Больцано-Коши. Геометрический смысл.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на I и в 2 его точках a и bпринимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке c между a и b функция обращается в нуль, т.е. f(c)=0

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f(a)<0,f(b)>0,f(c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, гдеf(c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Доказательство: опирается на теорему Кантора и следствие.

Разделим отрезок [a;b] точкой 2a+b на 2 равных отрезка, если f(2a+b)=0, то теорема доказана и с=2a+b, если же f(2a+b)/=0, то на концах по крайней мере одного из частичных отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Обозначим этот сегмент через [a1;b1]. Сегмент [a1;b1] разбиваем точкой c=2a1+b1на две равные части. Если f(2a1+b1)=0, то теорема доказана и с=2a1+b1, если же f(2a1+b1)/=0, то обозначим через [a2;b2] тот частичный сегмент на концах которого функция принимает значения разных знаков. И т.д.

Продолжив этот процесс либо при некотором k∈N будем иметь f(2ak+bk)=0 и тогда теорема доказана (здесь с=2ak+bk), либо ни при каких k∈N условие f(2ak+bk)=0 не выполнится.

При этом будет построена посл. ([an;bn]стягиванием сегментов

1)[a;b]≥[a1;b1]≥...≥[an;bn]≥...

2)limn→∞(b−nan)=2b−a=0

Поэтому существует единственная точка C содержащаяся во всех сегментах. Функция f непрерывна в точке C∈I и поскольку c=limann→∞=limbnn→∞, то в любой окрестности точки C функция f принимает значения разных знаков. По следствиюf(c)=0. ч.т.д.

Замечание. Доказанная теорема играет важную роль и при решении неравенств.

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если f непрерывна на I и в двух его точках a и bf(a)=A>B=f(b), то для всякой точки C∈[B,A] между точками a и b найдется хотя бы одна точкаc, чтоf(c)=C.

Доказательство: Основано на первой теореме Больцано-Коши.

Рассмотрим вспомогательную функцию φ(x)=f(x)−C она непрерывна на I (как разница 2 непрерывных функций) и т.к.B0, ϕ(b)=f(b)−C=B−C<0, тогда по теореме между a и b найдется точка с, такая что f(c)=ϕ(c)−C=0, т.е. f(c)=C. ч.т.д.

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямаяy=C, где B<C<A, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке.

Замечание. Если f - непрерывна и непостоянна на I, то образом этого промежутка I при отображении f будет также промежуток (т.е. непрерывным образ f(I)промежутка I есть промежуток). В самом деле, по теореме из того, что B,A∈E(f) следует, что интервал (B;A)⊂E(f), т.е. E(f)⊂f(I) - промежуток.

1. Теоремы Вейерштрасса о непрерывности.

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.

1. Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка xО[a,b], что f(x)>A.

Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда , что f(x_n)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {x_n}О[a,b] и удовлетворяющую свойству f(x_n)>n.

1. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {x_n} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_n}, т.е. . В силу замкнутости отрезка [a, b] точка cО [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).
2. Сведение к противоречию. Т.к. согласно п.1 , то, переходя к пределу k®¥получим т.е. f(c)=+¥, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x₁, x₂ принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].

Доказательство.

Докажем теорему только для супремума.

1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f(x) ограничена сверху на [a,b],т.е.

По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому .

Беря n=1,2,3,… получим последовательность {x₁, x₂, x₃,…}такую, что .

1. Выделение подпоследовательности. Т.к. n a£ x_n£ b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем сÎ[a,b] в силу его замкнутости.
2. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие

.

4.Переходя к пределу k®¥ получим

.

Но , кроме того, в силу непрерывности f(x), . В результате получим, что M£f(c)£ M, т.е. f(c)=M и супремум f(x) достигается в точке с.

1. Непрерывность сложной и обратной функции.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t₀)|<d может быть записано как |x-x₀|<d, и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.