Функции, задание и свойства. Предел, эквивалентность определений предела

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменная

Способы. Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.
Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.
При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.
Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.
Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.
Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.
Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.
Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.
Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q
Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2. Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание) Пример:
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
4. Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Хmax, выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Хmin, выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0

Два определения предела функции и их эквивалентность.

а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ,и для каждого найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . В этом случае пишут или при .

или, используя понятие окрестности, в виде

.

Таким образом, число А есть предел функции f(x) в точке , если для любой -окрестности числа А можно найти такую проколотую -окрестность точки , что для всех x, принадлежащих этой -окрестности, соответствующие значения функции содержатся в -окрестности числа А.

б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом функции f(x) в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. , и для любой последовательности , сходящейся к и такой, что для всех , N-натуральные числа, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

в) Эквивалентность двух определений предела.

Теорема. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

В определениях предела функции f(x) по Коши и по Гейне предполагается, что функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. существует число такое, что .

а) Пусть число А есть предел функции f в точке по Коши; тогда и

(A). (1)

Рассмотрим произвольную последовательность , сходящуюся к числу и такую, что для всех , N-натуральные числа. Согласно определению предела последовательности для найденного в (1) числа можно указать номер такой, что , откуда в силу условия (1) следует, что . Таким образом, (A), (2), где , причем усл-е (2) выполняется для любой посл-ти {Xn}

такой, что и . Следовательно, , т.е. число А – предел функции f(x) в точке по Гейне.

б) Докажем, что если число А есть предел функции f(x) в точке по Гейне, то это же число является пределом функции f по Коши, т.е. выполняется условие (1). Допустим, что это неверно. Тогда . (3)

Согласно (3) в качестве можно взять любое число из полуинтервала . Возьмем , где , N-натуральные числа, и обозначим . Тогда в силу (3) для любого , N-натуральные числа, выполняются неравенства

, (4)

. (5)

Из (4) следует, что и при всех , а из (5) заключаем, что число А не может быть пределом последовательности . Следовательно, число А не является пределом функции f в точке по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (1).

1. Односторонние пределы и условие наличия предела функции в точке.

Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х ₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х ₀ и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0) ( x ₀ - δ < x < x ₀): | f (x) – A | < ε.

Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х ₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х ₀ и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0) ( x ₀< x < x ₀+ δ): | f (x) – В | < ε

Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

и

Теорема. Функция f (x) имеет в точке х ₀ конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Доказательство. Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,

( ε > 0) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0) ( x ₀– δ₁ < x < x ₀): | f (x) – A | < ε.

( ε > 0) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0) ( x ₀< x < x ₀+ δ₂): | f (x) – A |<ε

Возьмем δ = min{δ₁,δ₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х ₀ | < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает

Обратно, пусть

Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х ₀| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х ₀– δ < х < х ₀, так и для х ₀ < x < х ₀ + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что

Односторонние пределы

Пусть функция f(x) определена на интервале (x0, x1).

Число A называется пределом функции f(x) справа, в точке x0 если для любого ε > 0 найдется
δ > 0 такое, что для всех x, для которых x0 < x < x0 + δ, справедливо неравенство | f(x) − A | < ε, т.е.

lim x → x0 + 0 f(x) = A ЬЮ " ε > 0 $ δ > 0: x0 < x < x0 + δ Ю | f(x) − A | < ε.

Предел функции f(x) в точке x0 справа обозначается символом f(x0 + 0)

Число A называется пределом функции f(x) слева, в точке x1 если для любого ε > 0 найдется
δ > 0 такое, что для всех x, для которых x1 − δ < x < x1, справедливо неравенство | f(x) − A | < ε, т.е.

lim x → x1 − 0 f(x) = A ЬЮ " ε > 0 $ δ > 0: x1 − δ < x < x1 Ю | f(x) − A | < ε.

Предел функции f(x) в точке x1 слева обозначается символом f(x1 − 0)

Теорема 4. Для того чтобы существовал предел

lim

x → a

f(x), равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны A оба односторонних предела

lim

x → a − 0

f(x) и

lim

x → a + 0

f(x).

Функция f(x) называется ограниченной в точке x0, если существуют число M > 0 и окрестность
O(x0), такие что " x О O(x0) Ю | f(x) | < M.