Доказательство. Идея доказательства построена на неравенстве:

Идея доказательства построена на неравенстве:

.

Пусть , . Тогда согласно равенству (17.1):

1) - бесконечно малая последовательность (согласно 17.1);

2) (бесконечно малая последовательность);

3) (бесконечно малая последовательность).

1. Теорема о предельном переходе. Ее следствия. Теорема «о двух полицейских».

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности { x_n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности { x_n }, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | x_n - a | < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности { x_n } могут удовлетворять строгому неравенству x_n > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то x_n > 0, однако .

Следствие 1. Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей { x_n } и { y_n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≤ y_n, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности { y_n - x_n } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности { x_n } находятся на сегменте [ a, b ], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

Теорема 2. Пусть

1. и сходящиеся последовательности;
2. ;
3. 

Тогда также сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

=>

или

=>

или .

Беря и учитывая, что можно записать

.

Выбрасывая лишнее, получим что

или ,

что и говорит о том, что .

Эту теорему часто называют “теоремой о двух полицейских” (, - полицейские, - преступник, которого они “берут в клещи”).

Теорема. Пусть { x_n } и { z_n } - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { y_n } удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность { y_n } сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность { y_n - a } является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности { y_n - a } удовлетворяют неравенству

| y_n - a | ≤ max {| x_n - a |, | z_n - a |}.

Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N ₁ и N ₂ такие, что при n ≥ N ₁ | x_n - a | < ε, а при n ≥ N ₂ | z_n - a | < ε. Пусть N = max{ N^*, N ₁, N ₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство | y_n - a | < ε. Итак, последовательность { y_n - a } - бесконечно малая. Теорема доказана.

6. Монотонные и ограниченные последовательности, их сходимость.

О п р е д е л е н и е. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если справедливо неравенство

.

Если на самом деле выполняются строгие неравенства , то последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки , откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.

П р и м е р ы:

1) - невозрастающая последовательность.

2) - возрастающая последовательность.

Теорема, утверждающая, что монотонная ограниченная последовательность чисел всегда имеет предел.

Т е о р е м а 1. Если последовательность действительных чисел

(1)

не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом (соответственно ), то существует действительное число , не превышающее (не меньшее ), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

(2)

(соответственно ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока , тогда и все . Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную разложим в бесконечную десятичную дробь:

. (3)

Так как последовательность ограничена сверху числом и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6, десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу :

,

но тогда стремится к как к своему пределу:

.

В самом деле, для любого найдется натуральное такое, что . Так как стабилизируется к , то

для всех , где достаточно велико, но тогда

,

т. е. при .

Если , то прибавим к число настолько большое, что , и положим .

Последовательность не убывает, ограничена сверху числом и ее элементы положительны. Поэтому, по доказанному выше существует предел , но тогда существует также предел , и теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.

Если теперь последовательность не возрастает и ограничена снизу числом , то последовательность чисел не убывает и ограничена сверху числом , и, на основании уже доказанного, существует предел , который мы обозначили через . Следовательно, существует также . Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Если последовательность действительных чисел сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если

,

где после запятой стоят нулей или девяток, то последовательность имеет предел, равный 1 , однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.

Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .