Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом

Доказательство Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

Достаточность. Пусть в точке существует производная

Это, по определению, означает, что

где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

Но и поэтому

что и требовалось доказать.

1. Выражение для дифференциала

Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции . Это означает, что

.

Но если взять , то мы получим, что , т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

т.е. производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.

1. Геометрический смысл дифференциала

Вспомним, что есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке , то будет катетом, который противолежит углу в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение На рисунке нарисован и отрезок , так что видно отличие и .

Ниже не уверена (приближенные формулы)Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1.

Действительно

2.

Имеем

3.

Имеем

4.

Имеем

.

5.

Имеем

1. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X.

То есть, для любого справедливо , где - приращения соответствующих функций.

В другой записи .

К основным правилам дифференцирования относят:

• вынесение постоянного множителя за знак производной;
• производная суммы, производная разности;
• производная произведения функций;
• производная частного двух функций (производная дроби).