Теорема о гранях

Формулировка: Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу — нижнюю грань. То есть существуют a и b такие, что

Доказательство

Для множества ограниченного сверху. Пусть - мажоранта множества , представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество непусто. Запишем все числа из в виде нормальных десятичных дробей,

.

Множество непусто и ограниченно сверху числом , поэтому существует .

Множество десятичных чисел вида таких, что среди элементов есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения , непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует .

Допустим, что для некоторого номера построено десятичное число такое, что

1. существует элемент , представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения
2. если x - элемент с представлением , то

.

Обозначим множество десятичных чисел вида , которые служат начальными выражениями для элементов множества . По определению числа на основании свойства 1 множество непусто. Оно конечно, поэтому существует число , обладающее свойствами 1-2 с заменой на , причем появление -ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого оказывается определенной цифра и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

Возьмем произвольное число . По построению числа b для любого номера n выполняется и поэтому . Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, b = sup X.

Для множества , ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

1. Последовательность

Числовая последовательность – функция вида y = f (x), x Î N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n)или y 1, y 2,…, y_n,…. Значения y 1, y 2, y 3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2_\shad \shad0можно записать: y 1 = 1² = 1; y 2 = 2² = 4; y 3 = 3² = 9;… y_n = n 2;… \shad

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена: y_n = f (n).

Пример. y_n = 2 n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y_n = y_n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4 n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y_n = y_n –2 + y_n –1, если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8