Свойство делимости многочленов

Основные свойства делимости многочленов.

1. Если делится , а делится на , то будет делиться на .

В самом деле, по условию и , а поэтому .

2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

Из равенств и вытекает .

3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

Если , то .

Из 2. и 3. вытекает следующее свойство:

4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен , где - произвольные многочлены.

5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Если , а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то .

6. Если делится на , то делится и на с , где с – произвольное число отличное от нуля.

Из равенства следует равенство .

7. Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

Действительно, . То есть делится на .

Если делится на , причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, то есть , , откуда .

Отсюда вытекает следующее свойство:

8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, если , .

Из 1. и 8. вытекает свойство:

9. Всякий делитель одного из двух многочленов , , где , будет делителем и для другого многочлена.

Свойства делимости многочленов могут быть применены для изучения делимости в множестве целых чисел. Выясним, например, для каких целых чисел n число является простым.

Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число kназывается простым, если число –k простое.

Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство

(2.3)

и поэтому число делится на и на Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или –1, т.е. выполняется хотя бы одно из равенств

Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и –2. При этих значениях n рассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть

Может возникнуть вопрос: откуда взялось равенство (2.3)? Как мы догадались, что многочлен таким образом раскладывается на множители? Для нахождения разложений такого типа необязательно прибегать к искусственным группировкам, это можно сделать с помощью теории, которая будет изложена ниже.

Из этого примера видно, что уже для решения задач, связанных с делимостью целых чисел, полезно уметь выяснять, делится ли данный многочлен на некоторый другой многочлен (раскладывается ли на множители).Ответ на такой и многие другие вопросы можно найти с помощью деления многочлена с остатком.

11. Деление многочлена на многочлен способом «уголка»

Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком». Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно:

Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;

Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

Пример. Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

на многочлен .

Решение. Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

Делим первый член делимого на первый член делителя . Получаем первый член частного .

Умножаем первый член частного на делитель , а результат умножения

пишем под делимым .

Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток

Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя (в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

Делим первый член остатка на первый член делителя . Получаем второй член частного .

Умножаем второй член частного на делитель , а результат умножения

пишем под первым остатком .

Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток

Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

Делим первый член второго остатка на первый член делителя . Получаем третий член частного 4.

Умножаем третий член частного 4 делитель , а результат умножения пишем под вторым остатком.

Вычитаем из второго остатка написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток

Степень этого остатка равна 1, что меньше, чем степень делителя. Следовательно, процесс деления закончен.

Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид: