Направляющий вектор прямой. Нормаль к плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты - буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки и имеют вид

. (2)

Обознчим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим

.

Отсюда

, , . (3)

Это - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора . В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z - как функции от t; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка M(x; y; z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t=0 точка М совпадает с точкой . Скорость v точки М постоянная и определяется формулой

.

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).