Евклидовы и нормированные пространства

Функция (в другом обозначении ), ставящая любым двум векторам в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Линейность по первому аргументу:

2. Эрмитова симметричность: (в случае если векторы определены над полем действительных чисел, то )

3. Положительная определённость: тогда и только тогда, когда ,

называется скалярным произведением вектора на вектор . Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если .
Базис евклидова пространства называется ортогональным, если . Базис называется ортонормированным, если , где — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:
, где — матрица Грамма.
В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если , , то
в случае действительного пространства и в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. тогда и только тогда, когда .

2. .

3. .

Угол между векторами определяется, как