Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

1. Если прямые и заданы общими уравнениями

и ,

тогда угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами и

Следовательно,

.

– условие параллельности прямых и ;

– условие перпендикулярности прямых и .

2. Если прямые и заданы каноническими уравнениями

и ,

где и направляющие векторы прямых и , то по аналогии с пунктом 1 получим:

,

– условие параллельности прямых и

– условие перпендикулярности прямых и .

3. Если прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом

и ,

где и , и углы наклона прямых к оси , то для угла между прямыми справедливо равенство: .

.

Итак, острый угол между двумя прямыми определяется по формуле

.

– условие параллельности двух прямых;

(или - условие перпендикулярности двух прямых

9. Прямая и плоскость в R³. Основные способы задания.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

Задача. Заданы уравнения двух прямых: и .

Найти точку их пересечения.

Решение. Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых: Давайте перепишем эту системе несколько иначе:
(1)

Введем обозначения: , , . Здесь D – определитель системы, а - определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если , то система (1) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: , , которые называются формулами Крамера. Напомню, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.