Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем комплексных (или вещественных) чисел называется функция для элементов , принимающая значения в (или ), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел из (или ) справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

2. для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3. для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что . Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Векторное произведение

Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:

1) ( - угол между векторами и , );

2)

3) тройка , , - правая.

Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .