Приклад. Приклади для самостійного розв’язування

Приклади для самостійного розв’язування

1. Використовуючи правила інтегрування та таблицю основних інтегралів, знайти інтеграли:

а) ;

б) ;

в) .

2. Методом безпосереднього інтегрування знайти інтеграли:

а) ;

б) ;

в) .

3. Методом заміни знайти інтеграли:

а) ;

б) .

4. Методом інтегрування частинами знайти інтеграли:

а) ;

б) ;

в)

8.2. Визначений інтеграл та його застосування

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с. 286 - 297).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 263 - 280).

3. Вища математика. Частина 1: Навчальний посібник. / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, О.С.Кондур. – Чернівці: Рута, 2002. – 191 с. (с.137 - 151).

4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с.507-515).

5. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.381-400).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Визначений інтеграл та його основні властивості

· Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання

Визначений інтеграл та його основні властивості

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

(1)

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

Визначений інтеграл введений для випадку, коли a < b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a = b i a > b.

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

(2)

3. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

(3)

Властивості 2 і 3 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.

4. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність (адитивність визначеного інтеграла):

(4)

Припустимо спочатку, що a < c < b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с = хт, то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (4).

Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого. Якщо, наприклад, a < b < c, то за формулами (4) і (3) маємо:

На рис. 1 показано геометрично цю властивість для випадку, коли f(x) > 0 і a < b < c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb.

Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a < b, наприклад, і (рис.2).

Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо:

де S₁, S₂, S₃ – площі відповідних криволінійних трапецій.

Рис.1 Рис.2

Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл при a < b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, які мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a > b то все формулюється навпаки.

Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 2 фігури виражається інтегралом:

5. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла:

(5)

Дійсно

6. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

(6)

Для довільного τ – розбиття маємо:

Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (6). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.

Властивості 5 і 6 називають лінійністю визначеного інтеграла.

7. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то:

(7)

(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).

Оскільки то будь-яка інтегральна сума і її границя при , теж невід’ємна.

8. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то:

(8)

(монотонність визначеного інтеграла).

Оскільки , то з нерівності (7) маємо:

Використовуючи властивість 4, дістанемо нерівність (8).

Якщо і , то властивість 8 можна зобразити геометрично (рис.3): площа криволінійної трапеції aA₁B₁b не менша площі криволінійної трапеції aA₂B₂b.

Рис.3

9. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a<b), то:

(9)

Застосовуючи формулу (8) до нерівності , дістаємо:

Звідки й випливає нерівність (9).

10. Якщо , то:

(10)

Скориставшись формулами (9) та (5), дістанемо:

Звідси й одержуємо нерівність (10), оскільки:

(11)

11. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a<b), то:

(12)

(оцінка інтеграла по області).

За умовою , тому з властивості 7 маємо:

Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (5) і (11), дістаємо нерівність (12).

Якщо , то властивість 11 ілюструється геометрично (рис. 4): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA₁B₁b і не більша площі прямокутника aA₂B₂b.

Рис. 4

12. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що:

(13)

(теорема про середнє значення функції).

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (12) дістанемо (якщо a<b):

Припустимо, що .

Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M]. Отже, існує точка така, що , або:

(14)

звідки й випливає дана властивість.

Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла , а потім, переставивши границі, приходимо до попередньої формули.

Рівність (14) називається формулою середнього значення, а величина f(с) – середнім значенням функції на відрізку [a;b].

Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 5): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.

Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (14) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b], то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).

Рис.5

13. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.

Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка [a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Обчислити інтеграли:

а) ; б) ; в) ; г)

Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання

Площа фігури

Декартові координати. Попередньо ми вже сформували геометричний зміст визначеного інтегралу: якщо f(x)>0 на відрізку [a,b], то дорівнює площі криволінійної трапеціїи ABCD, що обмежена знизу відрізком [a,b], зліва та справа - прямими x = a і x = b, зверху - функцією y = f (x).

Наслідок: якщо фігура обмежена зверху кривою y = f(x), знизу – кривою y = g(x), зліва та справа – відрізками прямих x = a і x = b, то її площа дорівнює:

Приклад. Знайти площу області D, що обмежена кривими y = x ² + x + 11, y = 2x - 9, при умові, що х ≤ 1.

Розв’язання

Надалі ми будемо записувати так:

При розв’язуванні подібних задач слід обов’язково зобразити досліджуваний геометричний об’єкт.

Для визначення нижньої межі інтегрування необхідно знайти точку перетину кривих; рівняння x² + x + 11 = 2 x - 9 має два корені: x = -1 та x = 2. Вірний корінь - x = -1. Область обмежена зверху параболою, знизу – прямою, справа – прямою x = 1, крайня ліва точка - x = -1, тому:

Відповідь. S (D) = 10/3.

Якщо область має більш складну структуру, її слід розбити на прості частини.

Область задана в полярних координатах

Якщо область D - сектор, обмежений променями φ = α, φ = β та кривою r = r(φ), формула для знаходження площі отримується з допомогою слідуючої інтегральної конструкції.

Розіб’ємо проміжок α ≤ φ ≤ β променями α = φ₀ < φ₁ <…< φ_і-1 < φ_і <…< φ_n < β на n частин; . На кожному з відрізків виберемо довільну точку ξ_і, знайдемо r(ξ_і), тоді дорівнює площі сектора круга, обмеженого променями , та дугою кола радіуса r(ξ_і). Об’єднання цих секторів – знову ступінчаста фігура, наближуючи дану область D, її площа:

При різниця між S _ступ та S - площею області D – буде також наближатися до нуля, так як:

.

Приклад. Знайти площу, обмежену лемніскатою .

Розв’язання

Точки лемніскати розміщені в секторах та ; крім того, при розв’язуванні таких задач доцільно використовувати симетрію фігури, тому ми знайдемо площу частини, розміщеної в секторі і збільшимо її вчетверо:

.
Відповідь. S = 2a².

Приклад. Знайти площу, що знаходиться всередині кардиноїди поза колом .

Розв’язання

Знайдемо різницю площ областей, що знаходяться всередині кардиноїди та кола. Для верхньої частини кардиноїди ; для верхньої частини кола , тому:

Відповідь. S = 5π/4.

Приклад. Знайти площу, що лежить всередині кола поза лемніскатою .

Розв’язання

Точки перетину лемніскати та кола знаходимо з умови:

,

Область симетрична відносно полярної осі, тому знаходимо площу верхньої частини та подвоюємо її.

При зміні φ від до полярний радіус змінюється від до ; при зміні φ від до полярний радіус змінюється від 0 до ; тому:

Відповідь. S =

Область обмежена кривими, заданими параметрично

Якщо крива, що обмежую криволінійну трапецію ABCD задана в параметричному вигляді: , а = φ(t₀), b = φ(t_k); то перехід в інтегралі до змінної t призводить до формули:

Приклад. Знайти площу, обмежену астроїдою .

Розв’язання

Використаємо симетрію фігури. Знаходимо площу частини фігури, що розміщена в першому квадранті (), та збільшимо її в 4 рази. Точку (0, a) отримуємо при , точку (a, 0) - при t = 0, тому:

Відповідь.

Обчислення довжини кривої

Нехай на площині задана крива AB. Розіб’ємо дану криву точками A = M ₀, M ₁, M ₂, …, M_{i -1, Mi} , …, M_n = B на n частин і впишемо в криву ламану M ₀ M ₁ M ₂ … M_{i -1 Mi} … M_n, яка з’єднує ці точки. Довжина L _лам цієї ламаної дорівнює сумі довжин прямолінійних ланок, з’єднуючих точки розбиття:

Спрямуємо тепер кількість n точок розбиття до нескінченності так, щоб максимальна довжина ланки прямувала до нуля. Якщо при цьому існує кінцева границя послідовності довжин ламаних L _лам, не залежних від способу розбиття кривої, то крива називається спрямленою, а значення цієї границі називається довжиною кривої AB.

Довжина кривої в декартових координатах. Нехай тепер крива AB - графік функції кривої y = f (x), що має неперервну похідну f '(x), а ≤ х ≤ b. Тоді точка M_i має координати (x_i, f (x_i)), ланка M_{i -1} M_i має довжину:

.

Функція y = f (x) на відрізку [ x_{i -1}, x_i ] задовольняє умовам теореми Лагранжа, тому існує точка [ x_{i -1}, x_i ] така, що . Враховуючи те, що довжина ланки M_i-1M_i дорівнює , довжина всієї ламаної - . Остання сума – інтегральна сума для інтегралу , і, внаслідок неперервності підінтегральної функції, прямує до нього при . Отже, довжина кривої, що задана декартовим рівнянням y = f (x), а ≤ х ≤ b, визначається за формулою:

Приклад. Знайти довжину відрізка параболи y = x ² від точки A(0,0) до точки B(2,4).

Розв’язання

, , тому:

Відповідь.

Довжина кривої, що задана параметрично

, а = φ(t₀), b = φ(t_k);

Замінимо в змінну x на змінну t. Так як , то .

Отже, довжина кривої, що задана параметрично, визначається за формулою:

Приклад. Знайти ділянки розкладки кола, що відповідає одному завитку нитки.

Розв’язання

Крива задається рівняннями:

Відповідь.

Крива задана в полярних координатах. Випадок, коли крива задається рівнянням r = r(φ), α ≤ φ ≤ β, легко зводиться до попереднього. Так як , , то, розглядаючи полярний кут φ як параметр, отримаємо:

, тому:

Приклад. Знайти довжину кардиноїди .

Розв’язання

, тому:

. Відповідь явно безглузда. Де ж помилка? Помилка в тому, що не врахований знак модуля при добуванні кореня з .

Правильний розв’язок:

Проте, як і в попередніх випадках, простіше користуватися симетрією фігури, знайти довжину верхньої вітки та подвоїти її:

Відповідь. L = 8a.

Об’єми тіл обертання

Обчислення об’єму за площами поперечних перерізів. Нехай тіло V розміщено в просторі між площинами x = a і x = b, і для відома площа його поперечного перерізу S = S (x). Необхідно знайти об’єм цього тіла.
Розріжемо це тіло площинами x = x ₀ = a, x = x ₁, x = x ₂, …, x = x_{i -1}, x = x_i, …, x = x _{n -1}, x = x_n = b на n шарів (a = x ₀< x ₁ < < x ₂< …< x_{n -1} < x_n = b), на кодному з відрізків [ x_{i -1}, x_i ] візьмемо довільну точку ξ_і; вважатимемо, що об’єм шару, що знаходиться між площинами x = x_{i -1} та x = x_i приблизно дорівнює об’єму циліндра з площею основи S(ξ_і) та висотою : . Сума об’ємів - об’єм ступінчатої фігури, при наближається до шуканого об’єму V, тому:

Об’єм тіла, отриманого при обертанні кривої навколо координатної вісі

Якщо об’єм V отримується в результаті обертання кривої y = f (x), а ≤ х ≤ b, навколо вісі Ox, то, очевидно, , тому:

Приклад. Знайти об’єм еліпсоїда, що утворився внаслідок обертання еліпса навколо вісі Ox.

Розв’язання

Дану задачу легше вирішити, якщо застосувати параметричні рівняння еліпса: .

Верхня дуга еліпса одержується при зміні t від 0 до π, при цьому крайній лівій точці еліпса відповідає значення параметра t ₀, рівне π, крайній правій точці відповідає значення t_k = 0. Формула для кривої, що задана параметрично, набуде вигляду: , тому:

Відповідь.

Якщо необхідно знайти об’єм тіла, утвореного внаслідок обертання плоскої фігури ABCD навколо вісі Oy, мислимо по іншому. Розбиваємо тіло на порожні циліндри радіуса x, товщини , висоти f (x). Об’єм цього циліндру дорівнює добутку довжини кола 2πх на товщину та висоту f (x); зсумувавши ці об’єми та переходячи до границі при , отримаємо:

.

Об’єм тіла, утвореного при обертанні сектора, що обмежений кривою r = r(φ) та двома полярними радіусами φ = α та φ = β, навколо полярної вісі з находиться за формулою:

Приклад. Знайти об’єм тора, отриманого обертанням кола r = sin φ навколо полярної вісі.

Розв’язання

Відповідь. .

Площа поверхні обертання

Площа поверхні обертання, утворена при обертанні навколо вісі Ox диференційованої кривої, визначається за формулами (в залежності від способу задання кривої)

( - довжина кола кільця, - його ширина).

Приклад. Знайти площу тора, що утворений при обертанні кола r = sin φ навколо вісі Ox.

Розв’язання

Відповідь. .

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти довжину дуги кривої при 0 ≤ х ≤ 1.

2. Знайти довжину напівкубічної параболи у² = х³ між точками з абсцисами х = 0 і х = 4.

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої кривими у = х² і .

4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х², х = у².

8.3. Диференціальні рівняння першого порядку

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 315 - 333).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А. Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с. 295 - 324).

3. Вища математика. Частина 1: навчальний посібник. / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, О.С.Кондур. – Чернівці: Рута, 2002. – 191с. (с. 173 - 183).

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под рнд. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 40 - 66).

5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с. 194 – 207).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку

Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Рівняння, що містить незалежну змінну, функцію, її похідні або диференціал називається диференціальним рівнянням.

F (x; у; у¢; у¢¢... у⁽ⁿ⁾) = 0

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називається функція y = f(x) при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.

Означення. Графік функції y = f(x) називається інтегральною кривою заданого рівняння.

Наприклад, функція y = sin x є розв’язком рівняння y ¢¢ + y = 0.

Дійсно, якщо y = sin x, то y¢ = cos x, а у¢¢ = -sin x. Тоді - sin х + sin x = 0 і y = sin x – розв’язок рівняння.

Розв’язки диференціального рівняння можуть бути загальними і частинними.

Означення. Розв’язок диференціального рівняння в якому кількість сталих дорівнює порядку рівняння називається загальним розв’язком диференціального рівняння.

Означення. Розв’язок диференціального рівняння при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком рівняння.

Для знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння з загального розв’язку задають початкову умову у вигляді у₀ =f(x₀), або точку (х₀; у₀). Початкову умову ще записують так .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння у¢ = sin x, який задовольняє початкову умову y(p) = 2.

Розв’язання

y = - cos x + c - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Підставляючи у загальний розв’язок замість x і y відповідні значення отримаємо:

2 = - cos p + c;

2 = 1 + с;

с = 1.

Отже, у = - cos x + 1 - частинний розв’язок диференціального рівняння.

Відповідь. у = - cos x + 1.

Означення. Задача на знаходження частинного розв’язку, що задовольняє початковим умовам, називається задачею Коші.

З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші означає знайти інтегральну криву, графік якої проходить через точку А (x₀; у₀).

Зауваження. В диференціальному рівнянні може існувати розв’язок, який неможливо отримати з загального розв’язку ні при якому значенні сталої С, включаючи ± ¥.

Рівняння з відокремлювальними змінними

Означення. Диференціальне рівняння вигляду y = f(x) · g(y), де права частина є добутком двох функцій, одна з яких залежить тільки від х, а друга - тільки від у, називається рівнянням з відокремлювальними змінними.

Розглядаючи у як функцію від х, остання рівність є рівністю диференціалів двох функцій, з якої за властивістю невизначеного інтеграла випливає рівність:

Знайшовши інтеграли, одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Диференціальне рівняння виду f₁(x) · g₁ (y) · dx + f₂(x) · g₂(y) · dy = 0 також називається рівнянням з відокремлювальними змінними.

Перенесемо другий доданок в праву частину і, поділивши обидві частини на добуток g₁(y) · f₂(x) ¹ 0, одержимо:

f₁(x) · g₁ (y) · dx = - f₂(x) · g₂(y) · dy;

Інтегруючи ліву частину за х, а праву за у, дістанемо:

- загальний розв’язок.

Приклад. Розв’язати рівняння x · dx = y · dy. Знайти частинний розв’язок, якщо при х = 1; y = 5.

Розв’язання

Дане рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними. Поділимо обидві частини рівняння на x · y ¹ 0. Одержимо:

Інтегруємо останнє рівняння:

(для зручності сталу інтегрування записали в логарифмічній формі).

у = с · х - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші при х = 1, у = 5:

5 = с · 1;

с = 5;

у = 5х – частинний розв’язок рівняння.

Відповідь. у = 5х.

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (1 + х²) · у¢ - 2х · у = 0. Знайти загальний і частинний розв’язки, якщо при х = 0, у = 5.

Розв’язання

Це рівняння з відокремлювальними змінними. Розпишемо похідну як відношення диференціалів:

Перенесемо другий доданок в праву частину і домножимо обидві частини на dx:

(1 + х²) · dy = 2х · у ·dx;

Відокремимо змінні. Для цього поділимо обидві частини на (1+ х²) · у,маємо:

- в рівнянні змінні відокремлені.

Знайдемо інтеграли від лівої і правої частини рівняння.

Для зручності сталу запишемо у логарифмічній формі:

;

у = с · (1 + х²) – загальний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші при х = 0, у = 5:

5 = с · (1 + 0);

с = 5.

Тоді, у = 5 · (1 + х²) - частинний розв’язок.

Відповідь. Загальний розв’язок у = с · (1 + х²),частинний розв’ язок у = 5 · (1 + х²).

Запишемо алгоритм розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлювальними змінними.

1. Розпишемо похідну як відношення диференціалів: ;

2. Домножимо обидві частини на dx і перенесемо члени, що містять dx в одну частину рівняння, а dy - в другу.

3. Відокремимо змінні, тобто зберемо в одній частині функцію, що залежить від y разом з dy, а в другій - функцію від х разом з dx.

Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння.
Одержимо частинний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші і знайдемо частинний розв’язок рівняння.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння (1 + e^2x) · y² · y¢ = e^x.

Розв’язання

Розпишемо похідну і одержимо рівняння:

.

Відповідь. .

Лінійні рівняння

Означення. Рівняння виду y¢ + P(x) · y = Q(x), де Р(х), Q(x) - функції залежні від х (або сталі) називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо Q(x) = 0, то рівняння має вигляд y¢ + P(x) · y = 0 і називається лінійним однорідним рівнянням. Якщо Q(x) ¹ 0, то воно називається лінійним неоднорідним.

Для розв’язування лінійних рівнянь застосовують слідуючий алгоритм:

1. Підстановка y = U · V, де U = U(x), V = V(x).

2. у¢ = (U · V)¢ = U¢ · V + U · V¢;

3. Підставити значення у і у¢ в рівняння. Одержимо:

U¢ · V + U · V¢ + P(x) · U · V = Q(x)

4. Згрупувати доданки, що містять U = U(x) (або V = V(x))і винести за дужки U (або V)

U¢ · V + U ·(V¢ + P(x) · V) = Q(x);

5. Вираз в дужках прирівняти до нуля: ·(V¢ + P(x) · V) = 0. Одержане диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними, розв’язавши його знайдемо V(x).

6. Підставити V(x) в частину рівняння, що залишилася. Одержимо рівняння з відокремлювальними змінними. Необхідно розв’язати його і знайти U(x).

7. Підставити U(x) і V(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння y¢ + y · tg x = cos² x.

Розв’язання

Маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку, де P(x) = tg x, Q(x) = cos²x.

1. y = U · V;

2. y¢ = U¢ · V + U · V¢;

3. U¢ · V + U · V¢ + U · V · tg x = cos ²x;

4. U¢ · V + U · (V¢ + V · tg x) = cos ²x;

5. V¢ + V · tg x = 0;

;

;

;

;

;

;

V = cos x;

6. U¢ · cos x = cos² x;

;

dU = cos x · dx

U = sin x + c

7. y = U · V

y = cos x · (sin x + c) - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Відповідь. y = cos x · (sin x + c).

Приклад. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння , що задовольняє умові у = 0, при х = 0.

Розв’язання

1. Приймемо y = U · V;

2. Знайдемо похідну: y¢ = U¢ · V + U · V¢;

3. Підставимо у і у¢ в рівняння:

4. Винесемо U за дужки з другого і третього доданків:

;

5. Вираз в дужках прирівняємо до нуля і розв’яжемо диференціальне рівняння:

;

;

;

;

;

;

;

6. Підставимо значення V в рівняння. Одержимо,

;

;

;

;

;

Отже, загальний розв’язок .

7. Розв’яжемо задачу Коші, якщо відомо, що при x = 0, y = 0. Маємо:

Отже, частинний розв’язок .

Відповідь. .

Однорідні рівняння

Означення. Функція f(x; у) називається однорідною n-ного виміру відносно змінних х та у, якщо при будь-якому k ¹ 0 виконується рівність: f(k · x; k · y) = kⁿ · f(x; у), .

Наприклад:

f(x; у) = 3х² +4х · у + 5у²;

f(kx; ky) = 3k²x² + 4kx · ky + 5k²y² = k² · (3x² + 4x · y + 5y²) = k² · f(x; у).

Дана функція є однорідною другого виміру (n=2) відносно змінних х і у.

Означення. Диференціальне рівняння у¢ = f(x; у) називається однорідним, якщо f(x; у) є однорідна функція нульового виміру (n= 0).

Розглянемо алгоритм розв’язування однорідних рівнянь:

1. Підстановка y = U · x;

2. y¢ = U¢ · x + U

3. Підставити значення у і у¢ в диференціальне рівняння:

U¢ · x + U = f(x; U · x)

4. Розв’язати одержане диференціальне рівняння з відокремлювальними змінними і знайти U = U(x);

5. Підставити U(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

Це однорідне диференціальне рівняння. Розв’язання проведемо згідно алгоритму.

1. y = U · x;

2. y¢ = U¢ · x + U;

3. ;

;

;

;

4. Це рівняння з відокремлювальними змінними:

;

;

;

;

;

;

;

5. Загальний розв’язок диференціального рівняння: .

Відповідь.

Означення. Рівняння виду f(x; у) · dx + g(x; y) · dx = 0 також називається однорідним диференціальним рівнянням, якщо функції f(x; у) і g(x; y) єоднорідними однакового виміру відносно змінних х і у.

Приклад. Розв’язати рівняння (х² + у²) · dx + 4x · y · dy = 0

Розв’язання

f(x; у) = х² + у²; g(x; у) = 4х · у;

f(kx; kу) = k² · (х² + у²); g(kx; kу) = k² · 4х · у;

Таким чином функції f(x; у) і g(x; y) однорідні однакового (другого, n=2) виміру. Маємо однорідне рівняння, розв’язок якого проведемо згідно алгоритму.

1. Нехай у = U · x, тоді у¢ = U¢ · x + U;

2. Виразимо з рівняння похідну ;

4 x · y · dy = - (x² + y²) · dx

;

3.Підставимо y і y¢:

;

;

;

;

;

;

4. Відокремивши змінні та інтегруючи, маємо:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

5. Отже, загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

.

Відповідь. .

Приклади для самостійного розв’язування

1. Розв’язати рівняння:

а) х^/ у – у = 0, якщо у = 4 при х = -2;

б) х + ху + у^/ (у + ху) = 0;

в) 2ху² dx = (1 + y²) dy.

2. Розв’язати рівняння:

а) (х² + 2ху) dx + xy dy = 0;

б) , якщо у = π/2 при х = 1.

3. Розв’язати рівняння:

а) ;

б) у^/ cos x – y sin x = sin 2x.

Тема 9.1. Числові ряди, їх збіжність.

Тема 9.2. Степеневі ряди.

9.1. Числові ряди, їх збіжність

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 336 – 347).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с. 336 - 351).

3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 141 - 157).

4. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с. 270 - 284).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Ряд геометричної прогресії, його збіжність

· Радикальна ознака Коші. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами

· Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Ряд геометричної прогресії, його збіжність

Означення. Числовий ряд вигляду називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом а.

Приклад. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.

Розв’язання

При часткова сума S_n визначається за відомою формулою суми спадної геометричної прогресії:

Тому сумою ряду у цьому випадку буде

тобто ряд збігається та його сума .

Якщо то частковою сумою буде а сума ряду тобто ряд розбігається.