![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Приклади для самостійного розв’язування
1. Використовуючи правила інтегрування та таблицю основних інтегралів, знайти інтеграли:
а) ;
б) ;
в) .
2. Методом безпосереднього інтегрування знайти інтеграли:
а) ;
б) ;
в) .
3. Методом заміни знайти інтеграли:
а) ;
б) .
4. Методом інтегрування частинами знайти інтеграли:
а) ;
б) ;
в)
8.2. Визначений інтеграл та його застосування
Література
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с. 286 - 297).
2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 263 - 280).
3. Вища математика. Частина 1: Навчальний посібник. / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, О.С.Кондур. – Чернівці: Рута, 2002. – 191 с. (с.137 - 151).
4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с.507-515).
5. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.381-400).
Питання, що виносяться на самостійну роботу:
· Визначений інтеграл та його основні властивості
· Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання
Визначений інтеграл та його основні властивості
1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:
(1)
Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Визначений інтеграл введений для випадку, коли a < b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a = b i a > b.
2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:
(2)
3. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:
(3)
Властивості 2 і 3 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.
4. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність (адитивність визначеного інтеграла):
(4)
Припустимо спочатку, що a < c < b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с = хт, то інтегральну суму можна розбити на дві суми:
Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (4).
Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого. Якщо, наприклад, a < b < c, то за формулами (4) і (3) маємо:
На рис. 1 показано геометрично цю властивість для випадку, коли f(x) > 0 і a < b < c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb.
Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a < b, наприклад, і
(рис.2).
Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо:
де S1, S2, S3 – площі відповідних криволінійних трапецій.
Рис.1 Рис.2
Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл при a < b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, які мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a > b то все формулюється навпаки.
Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 2 фігури виражається інтегралом:
5. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла:
(5)
Дійсно
6. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:
(6)
Для довільного τ – розбиття маємо:
Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (6). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.
Властивості 5 і 6 називають лінійністю визначеного інтеграла.
7. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то:
(7)
(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).
Оскільки то будь-яка інтегральна сума і її границя при
, теж невід’ємна.
8. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то:
(8)
(монотонність визначеного інтеграла).
Оскільки , то з нерівності (7) маємо:
Використовуючи властивість 4, дістанемо нерівність (8).
Якщо і
, то властивість 8 можна зобразити геометрично (рис.3): площа криволінійної трапеції aA1B1b не менша площі криволінійної трапеції aA2B2b.
Рис.3
9. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a<b), то:
(9)
Застосовуючи формулу (8) до нерівності , дістаємо:
Звідки й випливає нерівність (9).
10. Якщо , то:
(10)
Скориставшись формулами (9) та (5), дістанемо:
Звідси й одержуємо нерівність (10), оскільки:
(11)
11. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a<b), то:
(12)
(оцінка інтеграла по області).
За умовою , тому з властивості 7 маємо:
Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (5) і (11), дістаємо нерівність (12).
Якщо , то властивість 11 ілюструється геометрично (рис. 4): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA1B1b і не більша площі прямокутника aA2B2b.
Рис. 4
12. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що:
(13)
(теорема про середнє значення функції).
Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (12) дістанемо (якщо a<b):
Припустимо, що .
Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M]. Отже, існує точка така, що
, або:
(14)
звідки й випливає дана властивість.
Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла , а потім, переставивши границі, приходимо до попередньої формули.
Рівність (14) називається формулою середнього значення, а величина f(с) – середнім значенням функції на відрізку [a;b].
Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 5): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.
Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (14) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b], то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).
Рис.5
13. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.
Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка [a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.
Приклади для самостійного розв’язування
1. Обчислити інтеграли:
а) ; б)
; в)
; г)
Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання
Площа фігури
Декартові координати. Попередньо ми вже сформували геометричний зміст визначеного інтегралу: якщо f(x)>0 на відрізку [a,b], то дорівнює площі криволінійної трапеціїи ABCD, що обмежена знизу відрізком [a,b], зліва та справа - прямими x = a і x = b, зверху - функцією y = f (x).
Наслідок: якщо фігура обмежена зверху кривою y = f(x), знизу – кривою y = g(x), зліва та справа – відрізками прямих x = a і x = b, то її площа дорівнює:
Приклад. Знайти площу області D, що обмежена кривими y = x 2 + x + 11, y = 2x - 9, при умові, що х ≤ 1.
Розв’язання
Надалі ми будемо записувати так:
При розв’язуванні подібних задач слід обов’язково зобразити досліджуваний геометричний об’єкт.
Для визначення нижньої межі інтегрування необхідно знайти точку перетину кривих; рівняння x2 + x + 11 = 2 x - 9 має два корені: x = -1 та x = 2. Вірний корінь - x = -1. Область обмежена зверху параболою, знизу – прямою, справа – прямою x = 1, крайня ліва точка - x = -1, тому:
Відповідь. S (D) = 10/3.
Якщо область має більш складну структуру, її слід розбити на прості частини.
Область задана в полярних координатах
Якщо область D - сектор, обмежений променями φ = α, φ = β та кривою r = r(φ), формула для знаходження площі отримується з допомогою слідуючої інтегральної конструкції.
Розіб’ємо проміжок α ≤ φ ≤ β променями α = φ0 < φ1 <…< φі-1 < φі <…< φn < β на n частин; . На кожному з відрізків
виберемо довільну точку ξі, знайдемо r(ξі), тоді
дорівнює площі сектора круга, обмеженого променями
,
та дугою кола радіуса r(ξі). Об’єднання цих секторів – знову ступінчаста фігура, наближуючи дану область D, її площа:
При різниця між S ступ та S - площею області D – буде також наближатися до нуля, так як:
.
Приклад. Знайти площу, обмежену лемніскатою .
Розв’язання
Точки лемніскати розміщені в секторах та
; крім того, при розв’язуванні таких задач доцільно використовувати симетрію фігури, тому ми знайдемо площу частини, розміщеної в секторі
і збільшимо її вчетверо:
.
Відповідь. S = 2a2.
Приклад. Знайти площу, що знаходиться всередині кардиноїди поза колом
.
Розв’язання
Знайдемо різницю площ областей, що знаходяться всередині кардиноїди та кола. Для верхньої частини кардиноїди ; для верхньої частини кола
, тому:
Відповідь. S = 5π/4.
Приклад. Знайти площу, що лежить всередині кола поза лемніскатою
.
Розв’язання
Точки перетину лемніскати та кола знаходимо з умови:
,
Область симетрична відносно полярної осі, тому знаходимо площу верхньої частини та подвоюємо її.
При зміні φ від до
полярний радіус змінюється від
до
; при зміні φ від
до
полярний радіус змінюється від 0 до
; тому:
Відповідь. S =
Область обмежена кривими, заданими параметрично
Якщо крива, що обмежую криволінійну трапецію ABCD задана в параметричному вигляді:
, а = φ(t0), b = φ(tk); то перехід в інтегралі
до змінної t призводить до формули:
Приклад. Знайти площу, обмежену астроїдою
.
Розв’язання
Використаємо симетрію фігури. Знаходимо площу частини фігури, що розміщена в першому квадранті (), та збільшимо її в 4 рази. Точку (0, a) отримуємо при
, точку (a, 0) - при t = 0, тому:
Відповідь.
Обчислення довжини кривої
Нехай на площині задана крива AB. Розіб’ємо дану криву точками A = M 0, M 1, M 2, …, Mi -1, Mi , …, Mn = B на n частин і впишемо в криву ламану M 0 M 1 M 2 … Mi -1 Mi … Mn, яка з’єднує ці точки. Довжина L лам цієї ламаної дорівнює сумі довжин прямолінійних ланок, з’єднуючих точки розбиття:
Спрямуємо тепер кількість n точок розбиття до нескінченності так, щоб максимальна довжина ланки прямувала до нуля. Якщо при цьому існує кінцева границя послідовності довжин ламаних L лам, не залежних від способу розбиття кривої, то крива називається спрямленою, а значення цієї границі називається довжиною кривої AB.
Довжина кривої в декартових координатах. Нехай тепер крива AB - графік функції кривої y = f (x), що має неперервну похідну f '(x), а ≤ х ≤ b. Тоді точка Mi має координати (xi, f (xi)), ланка Mi -1 Mi має довжину:
.
Функція y = f (x) на відрізку [ xi -1, xi ] задовольняє умовам теореми Лагранжа, тому існує точка [ xi -1, xi ] така, що
. Враховуючи те, що довжина ланки Mi-1Mi дорівнює
, довжина всієї ламаної -
. Остання сума – інтегральна сума для інтегралу
, і, внаслідок неперервності підінтегральної функції, прямує до нього при
. Отже, довжина кривої, що задана декартовим рівнянням y = f (x), а ≤ х ≤ b, визначається за формулою:
Приклад. Знайти довжину відрізка параболи y = x 2 від точки A(0,0) до точки B(2,4).
Розв’язання
,
, тому:
Відповідь.
Довжина кривої, що задана параметрично
, а = φ(t0), b = φ(tk);
Замінимо в змінну x на змінну t. Так як
, то
.
Отже, довжина кривої, що задана параметрично, визначається за формулою:
Приклад. Знайти ділянки розкладки кола, що відповідає одному завитку нитки.
Розв’язання
Крива задається рівняннями:
Відповідь.
Крива задана в полярних координатах. Випадок, коли крива задається рівнянням r = r(φ), α ≤ φ ≤ β, легко зводиться до попереднього. Так як ,
, то, розглядаючи полярний кут φ як параметр, отримаємо:
, тому:
Приклад. Знайти довжину кардиноїди .
Розв’язання
, тому:
. Відповідь явно безглузда. Де ж помилка? Помилка в тому, що не врахований знак модуля при добуванні кореня з
.
Правильний розв’язок:
Проте, як і в попередніх випадках, простіше користуватися симетрією фігури, знайти довжину верхньої вітки та подвоїти її:
Відповідь. L = 8a.
Об’єми тіл обертання
Обчислення об’єму за площами поперечних перерізів. Нехай тіло V розміщено в просторі між площинами x = a і x = b, і для відома площа його поперечного перерізу S = S (x). Необхідно знайти об’єм цього тіла.
Розріжемо це тіло площинами x = x 0 = a, x = x 1, x = x 2, …, x = xi -1, x = xi, …, x = x n -1, x = xn = b на n шарів (a = x 0< x 1 < < x 2< …< xn -1 < xn = b), на кодному з відрізків [ xi -1, xi ] візьмемо довільну точку ξі; вважатимемо, що об’єм шару, що знаходиться між площинами x = xi -1 та x = xi приблизно дорівнює об’єму
циліндра з площею основи S(ξі) та висотою
:
. Сума об’ємів
- об’єм ступінчатої фігури, при
наближається до шуканого об’єму V, тому:
Об’єм тіла, отриманого при обертанні кривої навколо координатної вісі
Якщо об’єм V отримується в результаті обертання кривої y = f (x), а ≤ х ≤ b, навколо вісі Ox, то, очевидно, , тому:
Приклад. Знайти об’єм еліпсоїда, що утворився внаслідок обертання еліпса навколо вісі Ox.
Розв’язання
Дану задачу легше вирішити, якщо застосувати параметричні рівняння еліпса: .
Верхня дуга еліпса одержується при зміні t від 0 до π, при цьому крайній лівій точці еліпса відповідає значення параметра t 0, рівне π, крайній правій точці відповідає значення tk = 0. Формула для кривої, що задана параметрично, набуде вигляду:
, тому:
Відповідь.
Якщо необхідно знайти об’єм тіла, утвореного внаслідок обертання плоскої фігури ABCD навколо вісі Oy, мислимо по іншому. Розбиваємо тіло на порожні циліндри радіуса x, товщини
, висоти f (x). Об’єм цього циліндру дорівнює добутку довжини кола 2πх на товщину
та висоту f (x); зсумувавши ці об’єми та переходячи до границі при
, отримаємо:
.
Об’єм тіла, утвореного при обертанні сектора, що обмежений кривою r = r(φ) та двома полярними радіусами φ = α та φ = β, навколо полярної вісі з находиться за формулою:
Приклад. Знайти об’єм тора, отриманого обертанням кола r = sin φ навколо полярної вісі.
Розв’язання
Відповідь. .
Площа поверхні обертання
Площа поверхні обертання, утворена при обертанні навколо вісі Ox диференційованої кривої, визначається за формулами (в залежності від способу задання кривої)
( - довжина кола кільця,
- його ширина).
Приклад. Знайти площу тора, що утворений при обертанні кола r = sin φ навколо вісі Ox.
Розв’язання
Відповідь. .
Приклади для самостійного розв’язування
1. Знайти довжину дуги кривої при 0 ≤ х ≤ 1.
2. Знайти довжину напівкубічної параболи у2 = х3 між точками з абсцисами х = 0 і х = 4.
3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої кривими у = х2 і .
4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х2, х = у2.
8.3. Диференціальні рівняння першого порядку
Література
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 315 - 333).
2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А. Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с. 295 - 324).
3. Вища математика. Частина 1: навчальний посібник. / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, О.С.Кондур. – Чернівці: Рута, 2002. – 191с. (с. 173 - 183).
4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под рнд. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 40 - 66).
5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с. 194 – 207).
Питання, що виносяться на самостійну роботу:
· Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку
Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Рівняння, що містить незалежну змінну, функцію, її похідні або диференціал називається диференціальним рівнянням.
F (x; у; у¢; у¢¢... у(n)) = 0
Означення. Розв’язком диференціального рівняння називається функція y = f(x) при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.
Означення. Графік функції y = f(x) називається інтегральною кривою заданого рівняння.
Наприклад, функція y = sin x є розв’язком рівняння y ¢¢ + y = 0.
Дійсно, якщо y = sin x, то y¢ = cos x, а у¢¢ = -sin x. Тоді - sin х + sin x = 0 і y = sin x – розв’язок рівняння.
Розв’язки диференціального рівняння можуть бути загальними і частинними.
Означення. Розв’язок диференціального рівняння в якому кількість сталих дорівнює порядку рівняння називається загальним розв’язком диференціального рівняння.
Означення. Розв’язок диференціального рівняння при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком рівняння.
Для знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння з загального розв’язку задають початкову умову у вигляді у0 =f(x0), або точку (х0; у0). Початкову умову ще записують так .
Приклад. Знайти розв’язок рівняння у¢ = sin x, який задовольняє початкову умову y(p) = 2.
Розв’язання
y = - cos x + c - загальний розв’язок диференціального рівняння.
Підставляючи у загальний розв’язок замість x і y відповідні значення отримаємо:
2 = - cos p + c;
2 = 1 + с;
с = 1.
Отже, у = - cos x + 1 - частинний розв’язок диференціального рівняння.
Відповідь. у = - cos x + 1.
Означення. Задача на знаходження частинного розв’язку, що задовольняє початковим умовам, називається задачею Коші.
З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші означає знайти інтегральну криву, графік якої проходить через точку А (x0; у0).
Зауваження. В диференціальному рівнянні може існувати розв’язок, який неможливо отримати з загального розв’язку ні при якому значенні сталої С, включаючи ± ¥.
Рівняння з відокремлювальними змінними
Означення. Диференціальне рівняння вигляду y = f(x) · g(y), де права частина є добутком двох функцій, одна з яких залежить тільки від х, а друга - тільки від у, називається рівнянням з відокремлювальними змінними.
Розглядаючи у як функцію від х, остання рівність є рівністю диференціалів двох функцій, з якої за властивістю невизначеного інтеграла випливає рівність:
Знайшовши інтеграли, одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.
Диференціальне рівняння виду f1(x) · g1 (y) · dx + f2(x) · g2(y) · dy = 0 також називається рівнянням з відокремлювальними змінними.
Перенесемо другий доданок в праву частину і, поділивши обидві частини на добуток g1(y) · f2(x) ¹ 0, одержимо:
f1(x) · g1 (y) · dx = - f2(x) · g2(y) · dy;
Інтегруючи ліву частину за х, а праву за у, дістанемо:
- загальний розв’язок.
Приклад. Розв’язати рівняння x · dx = y · dy. Знайти частинний розв’язок, якщо при х = 1; y = 5.
Розв’язання
Дане рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними. Поділимо обидві частини рівняння на x · y ¹ 0. Одержимо:
Інтегруємо останнє рівняння:
(для зручності сталу інтегрування записали в логарифмічній формі).
у = с · х - загальний розв’язок диференціального рівняння.
Розв’яжемо задачу Коші при х = 1, у = 5:
5 = с · 1;
с = 5;
у = 5х – частинний розв’язок рівняння.
Відповідь. у = 5х.
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (1 + х2) · у¢ - 2х · у = 0. Знайти загальний і частинний розв’язки, якщо при х = 0, у = 5.
Розв’язання
Це рівняння з відокремлювальними змінними. Розпишемо похідну як відношення диференціалів:
Перенесемо другий доданок в праву частину і домножимо обидві частини на dx:
(1 + х2) · dy = 2х · у ·dx;
Відокремимо змінні. Для цього поділимо обидві частини на (1+ х2) · у,маємо:
- в рівнянні змінні відокремлені.
Знайдемо інтеграли від лівої і правої частини рівняння.
Для зручності сталу запишемо у логарифмічній формі:
;
у = с · (1 + х2) – загальний розв’язок диференціального рівняння.
Розв’яжемо задачу Коші при х = 0, у = 5:
5 = с · (1 + 0);
с = 5.
Тоді, у = 5 · (1 + х2) - частинний розв’язок.
Відповідь. Загальний розв’язок у = с · (1 + х2),частинний розв’ язок у = 5 · (1 + х2).
Запишемо алгоритм розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлювальними змінними.
1. Розпишемо похідну як відношення диференціалів: ;
2. Домножимо обидві частини на dx і перенесемо члени, що містять dx в одну частину рівняння, а dy - в другу.
3. Відокремимо змінні, тобто зберемо в одній частині функцію, що залежить від y разом з dy, а в другій - функцію від х разом з dx.
Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння.
Одержимо частинний розв’язок диференціального рівняння.
Розв’яжемо задачу Коші і знайдемо частинний розв’язок рівняння.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння (1 + e2x) · y2 · y¢ = ex.
Розв’язання
Розпишемо похідну і одержимо рівняння:
.
Відповідь. .
Лінійні рівняння
Означення. Рівняння виду y¢ + P(x) · y = Q(x), де Р(х), Q(x) - функції залежні від х (або сталі) називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Якщо Q(x) = 0, то рівняння має вигляд y¢ + P(x) · y = 0 і називається лінійним однорідним рівнянням. Якщо Q(x) ¹ 0, то воно називається лінійним неоднорідним.
Для розв’язування лінійних рівнянь застосовують слідуючий алгоритм:
1. Підстановка y = U · V, де U = U(x), V = V(x).
2. у¢ = (U · V)¢ = U¢ · V + U · V¢;
3. Підставити значення у і у¢ в рівняння. Одержимо:
U¢ · V + U · V¢ + P(x) · U · V = Q(x)
4. Згрупувати доданки, що містять U = U(x) (або V = V(x))і винести за дужки U (або V)
U¢ · V + U ·(V¢ + P(x) · V) = Q(x);
5. Вираз в дужках прирівняти до нуля: ·(V¢ + P(x) · V) = 0. Одержане диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними, розв’язавши його знайдемо V(x).
6. Підставити V(x) в частину рівняння, що залишилася. Одержимо рівняння з відокремлювальними змінними. Необхідно розв’язати його і знайти U(x).
7. Підставити U(x) і V(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння y¢ + y · tg x = cos2 x.
Розв’язання
Маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку, де P(x) = tg x, Q(x) = cos2x.
1. y = U · V;
2. y¢ = U¢ · V + U · V¢;
3. U¢ · V + U · V¢ + U · V · tg x = cos 2x;
4. U¢ · V + U · (V¢ + V · tg x) = cos 2x;
5. V¢ + V · tg x = 0;
;
;
;
;
;
;
V = cos x;
6. U¢ · cos x = cos2 x;
;
dU = cos x · dx
U = sin x + c
7. y = U · V
y = cos x · (sin x + c) - загальний розв’язок диференціального рівняння.
Відповідь. y = cos x · (sin x + c).
Приклад. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння , що задовольняє умові у = 0, при х = 0.
Розв’язання
1. Приймемо y = U · V;
2. Знайдемо похідну: y¢ = U¢ · V + U · V¢;
3. Підставимо у і у¢ в рівняння:
4. Винесемо U за дужки з другого і третього доданків:
;
5. Вираз в дужках прирівняємо до нуля і розв’яжемо диференціальне рівняння:
;
;
;
;
;
;
;
6. Підставимо значення V в рівняння. Одержимо,
;
;
;
;
;
Отже, загальний розв’язок .
7. Розв’яжемо задачу Коші, якщо відомо, що при x = 0, y = 0. Маємо:
Отже, частинний розв’язок .
Відповідь. .
Однорідні рівняння
Означення. Функція f(x; у) називається однорідною n-ного виміру відносно змінних х та у, якщо при будь-якому k ¹ 0 виконується рівність: f(k · x; k · y) = kn · f(x; у), .
Наприклад:
f(x; у) = 3х2 +4х · у + 5у2;
f(kx; ky) = 3k2x2 + 4kx · ky + 5k2y2 = k2 · (3x2 + 4x · y + 5y2) = k2 · f(x; у).
Дана функція є однорідною другого виміру (n=2) відносно змінних х і у.
Означення. Диференціальне рівняння у¢ = f(x; у) називається однорідним, якщо f(x; у) є однорідна функція нульового виміру (n= 0).
Розглянемо алгоритм розв’язування однорідних рівнянь:
1. Підстановка y = U · x;
2. y¢ = U¢ · x + U
3. Підставити значення у і у¢ в диференціальне рівняння:
U¢ · x + U = f(x; U · x)
4. Розв’язати одержане диференціальне рівняння з відокремлювальними змінними і знайти U = U(x);
5. Підставити U(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння: .
Розв’язання
Це однорідне диференціальне рівняння. Розв’язання проведемо згідно алгоритму.
1. y = U · x;
2. y¢ = U¢ · x + U;
3. ;
;
;
;
4. Це рівняння з відокремлювальними змінними:
;
;
;
;
;
;
;
5. Загальний розв’язок диференціального рівняння: .
Відповідь.
Означення. Рівняння виду f(x; у) · dx + g(x; y) · dx = 0 також називається однорідним диференціальним рівнянням, якщо функції f(x; у) і g(x; y) єоднорідними однакового виміру відносно змінних х і у.
Приклад. Розв’язати рівняння (х2 + у2) · dx + 4x · y · dy = 0
Розв’язання
f(x; у) = х2 + у2; g(x; у) = 4х · у;
f(kx; kу) = k2 · (х2 + у2); g(kx; kу) = k2 · 4х · у;
Таким чином функції f(x; у) і g(x; y) однорідні однакового (другого, n=2) виміру. Маємо однорідне рівняння, розв’язок якого проведемо згідно алгоритму.
1. Нехай у = U · x, тоді у¢ = U¢ · x + U;
2. Виразимо з рівняння похідну ;
4 x · y · dy = - (x2 + y2) · dx
;
3.Підставимо y і y¢:
;
;
;
;
;
;
4. Відокремивши змінні та інтегруючи, маємо:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
5. Отже, загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:
.
Відповідь. .
Приклади для самостійного розв’язування
1. Розв’язати рівняння:
а) х/ у – у = 0, якщо у = 4 при х = -2;
б) х + ху + у/ (у + ху) = 0;
в) 2ху2 dx = (1 + y2) dy.
2. Розв’язати рівняння:
а) (х2 + 2ху) dx + xy dy = 0;
б) , якщо у = π/2 при х = 1.
3. Розв’язати рівняння:
а) ;
б) у/ cos x – y sin x = sin 2x.
Тема 9.1. Числові ряди, їх збіжність.
Тема 9.2. Степеневі ряди.
9.1. Числові ряди, їх збіжність
Література
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 336 – 347).
2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с. 336 - 351).
3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 141 - 157).
4. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с. 270 - 284).
Питання, що виносяться на самостійну роботу:
· Ряд геометричної прогресії, його збіжність
· Радикальна ознака Коші. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами
· Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца
Ряд геометричної прогресії, його збіжність
Означення. Числовий ряд вигляду називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом а.
Приклад. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.
Розв’язання
При часткова сума Sn визначається за відомою формулою суми спадної геометричної прогресії:
Тому сумою ряду у цьому випадку буде
тобто ряд збігається та його сума .
Якщо то частковою сумою буде
а сума ряду
тобто ряд розбігається.
Якщо q=1, то Sn=а+а+а+…+а = na, тому сум
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1313 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!