Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи означення похідної

Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи означення похідної.

Нехай х₀ – деяка точка інтервала [a; b].

Тоді,

Так як

то

А отже

Так як х₀ – вільна точка інтервалу [a; b], то в формулі х₀ можна замінити на х. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

Приклад. Знайти

Розв’язання

Чисельник та знаменник дробу окремо прямують до нуля при x → 0, (невизначеність вигляду ).

Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

Відповідь.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Користуючись означенням похідної, знайти похідну функцій:

а) у = 2х³ + 5х² – 7х – 4;

б) у = -ctgх – х;

в) у = sin (2х+3).

2. Знайти граничний доход підприємства, якщо кількісь виготовлених та проданих виробів х та роздрібна вартість кожного виробу р зв’язані з рівністю х = 4000 – 2р.

3. Функція витрат підприємства має вигляд V(x)=2000+10x-0,1х²+0,002х³ (тисяч гривень). Знайти граничну вартість при х = 50, х = 100 та х = 120.

Похідні функцій заданих неявно та параметрично

Означення. Якщо функція задана у вигляді , де t - параметр, то це завдання називають параметричним.

Для знаходження похідної використовують формулу:

(1)

Для знаходження другої похідної необхідно:

(2)

Приклад. Знайти похідну функції, заданої параметрично

Розв’язання

Знайдемо

Знайдемо

Тоді за формулою (1)

Тоді за формулою (2):

Відповідь. ;

Означення. Функція виду F(x;y) = 0, де х - незалежна змінна, у - функція називається функцією, що задана неявно.

Наприклад, х²у² + 2у⁴ + = 0

у² cos х + 5ху³ = 0.

Надалі будемо вважати, що ця функція - диференційована.

Продиференціювавши по х обидві частини рівняння F(x;y) = 0, дістанемо, рівняти першого степеня відносно у. З цього рівняння легко знайти у', тобто похідну неявної функції

Приклад. Знайти у', якщо х² + у² = 4

Розв’язання

Оскільки у є функцією від х, то у² розглядатимемо як складну функцію від х, тобто (у²)' = 2у ∙ у'.

Знайдемо похідну від лівої і правої частини рівності:

(х²)' + (у²)' = 4'

2х + 2у ∙ у'=0

у' =

у' =

Відповідь. у' =

Приклад. Знайти похідну: х³ + lп е - х² е ^y = 0

Розв’язання

Функція задана неявно. Диференціюємо ліву і праву частини рівняння по змінній х, отримуємо:

(х³) + (ln у)' - (х²e^y)' = 0

3х² + ∙ у' - (х²)'- е^у - х²(е^у)' = 0

3х² + ∙ у' - 2xe^y - x²e^yy' = 0

∙ у' - x²e^yy' = 2xe^{y -} 3х²

у ' ∙ ( - x²e^y) = 2xe^{y -} 3х²

Відповідь. .

Означення. Функція виду у = (U(x))^v(x), де U(x) і V(x) - функції від x називається степенево-показниковою.

При знаходженні похідної необхідно знайти логарифм лівої і правої частини рівняння, знайти похідну від обох частин і виразити у.

y = U^V

ln у = ln U^V

lny= V lnU

Оскільки ln у і ln U - складені функції, після диференціювання обох частин рівності дістанемо:

^∙ y' = V' lnU+U' V

Звідки у' =y(V ln U+ V);

або y'=U^V (V' lnU + V)

Приклад. Знайти похідну функції y = (sin x)^tgx

Розв’язання

Функція показниково-степенева. Використовується метод логарифмічного диференціювання

lпу = tgx ln sin х

Диференціюємо обидві частини за х, враховуючи, що lпу — складна функція від х, а правачастина добуток U' V одержимо:

(ln у) '=(tgx ∙ ln sin x)';

^∙ y' = (tgх)' ln sin x + tg x(ln sin x)'

= ln sin x + tgx ∙ ∙ cos x;

Відповідь.

Приклади для самостійного розв’язування

1) Знайти похідні функцій заданих параметрично:

а) б) в)

2) Знайти похідні неявно заданих функцій:

а) х⁴+ у⁴ =х²у²; в) tgy = 4у - 5х; д) х⁴+ х²у² +у = 4;

б) у²х = ; г) 2y lny = х; ж) sin у = ху² +5;

3) Знайти похідні степенево-показникових функцій:

а) ; в) y = (x² + 1) ^{sin x}; д) (lп x)^{tg 2x};

б) (arctg х)^х; г) (arccos x)^x; ж)

Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різни­ця) ввів у математику Лейбніц.

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді при ,

Звідки (1)

Перший з доданків лінійний відносно і при та f '(х) 0 є нескінченно малою одного порядку з , тому що: .

Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж , тому що .

Цей доданок не є лінійним відносно , тобто містить в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Означення. Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно , частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f ' (х) (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = , тобто диферен­ціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом . Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f '(x)dx (3)

Формула дає змогу розглядати похідну як відношення диферен­ціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х₀ похідна f ' (х₀) = 0, то перший доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною части­ною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за поданною вище формулою.

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 1.

Маємо PN = , QN = MN tg α= f '(x) = f '(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і до­рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозумі­ло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень .

З’ясуємо механічний зміст диферен­ціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f '(t) при фіксованих значеннях t і — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рів­номірно із сталою швидкістю V = f ' (t). Зрозуміло, що фактичний шлях у випадку нерівномірного руху на від­міну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Властивості диференціала:

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, u і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

d (u ± v) = du ± dv;

Застосування диференціала до наближених обчислень функції

Теорема. Якщо у'_х = f '(x) ≠ 0, то , тобто і dy є еквівалентними нескінченно малими.