Доведення. Як уже зазначалось, приріст функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці:

Маємо

Як уже зазначалось, приріст функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: dy. Під­ставивши сюди значення і dy, дістанемо:

(4)

Ця формула визначає спосіб наближеного обчислення значення функції в точці.

Наприклад, нехай . Тоді: .

Якщо х = 1, то . Так,

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти диференціали функцій:

а) ;

б) ;

в) .

2. Знайти диференціал dy функції у = х²:

а) при довільних значеннях х та х;

б) при х = 20, х = 0,1.

3. Обчислити наближено .

Похідні та диференціали вищих порядків

Похідні вищих порядків

Нехай функція y = f(x) задана на деякому проміжку (a, b) і нехай всередині цього проміжку вона має похідну y ' = f ' (x) = φ (x), яка є також функцією від х. Припустимо, що цю функцію можна диференціювати в точці х даного інтервалу.

Означення. Похідну функції φ (x) = f ' (x) в точці х називають другою похідною функції f(x), або похідною другого порядку в цій точці і позначають: у'', f '' (x), ,

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку. Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знайти спочатку від цієї функції похідну першого порядку, а потім від цієї похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти другу похідну, треба функцію продиференціювати два рази.

Похідну другої похідної, якщо вона існує, називають третьою похідною, і позначають:

у''', f ''' (x), ,

Взагалі, похідною n -ного порядку функції y = f(x) називають похідну від похідної (n-1) -го порядку.

Наприклад, функція у = 10х⁷ має похідні:

у' = 70х⁶, у'' = 420х⁵, у''' = 2100х⁴ і т.д.

Друга похідна має такий фізичний зміст. Якщо заданий закон прямолінійного руху тіла S = f (t), то - це швидкість у момент часу t.

Введемо відношення і визначимо його як середнє прискорення за проміжок часу . Позначимо . Границя середнього прискорення називається прискоренням у момент часу t. Отже,

Таким чином, друга похідна від шляху по часу – це дотичне прискорення точки в момент часу t. Друга похідна деякої функції, яка описує фізичний процес, визначає прискорення цього процесу, або швидкість зміни функції.

Диференціали вищих порядків

Нехай дано функцію однієї незалежної змінної y = f(x).

Означення. Диференціалом другого порядку або другим диференціалом функції y = f(x) у деякій фіксованій точці називається диференціал першого диференціала в цій точці, який позначається d²(y) = d(dy), за умови, що х є незалежною змінною.

Диференціалом третього порядку або третім диференціалом називається диференціал другого диференціала

d³(y) = d(d²y),

за умови, що х є незалежною змінною.

Взагалі диференціалом n -го порядку або n -м диференціалом функції y = f(x) називається диференціал її (n-1) -го диференціала

dⁿ(y) = d(d^n-1y),

за умови, що х є незалежною змінною.

При обчисленні диференціалів вищих порядків треба брати до уваги, що dx є довільне незалежне від х число, яке при диференціюванні по х слід розглядати як сталий множник. Так,

d²y = d(dy) = d(y'dx) = (y"dx)dx,

d²y = y''dx²,

d³y = d(y"dx²)= y"dx³.

Взагалі dⁿy = y(ⁿ)dxⁿ.

Приклад. Знайти диференціал другого порядку функції у = sin² x.

Розв’язання

Маємо:

dy = 2 sin x cos xdx = sin 2xdx,

d²y = d (sin 2xdx) = 2 cos 2xdx².

Відповідь. d²y = 2 cos 2xdx².

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти у^//, якщо у = (х+1)е ^-х.

2. Знайти похідну третього порядку для функції у = sin (5x+4).

3. Знайти функцій:

а) z = y^{ln x};

б) z = arcsin xy.

4. Знайти диференціал другого порядку функції у = sin²х.

5. Знайти диференціал другого порядку функції U = xy² – x²y.

6.2. Застосування диференціального числення до дослідження функцій та побудови їх графіків

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с. 219 - 231).

2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1987. – 464 с. (с. 332 - 360).

3. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592с. (с. 399 - 415).

4. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.342 - 368).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Асимптоти до графіка функцій

· Дослідження функцій за до­помогою похідної

Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Асимптоти до графіка функцій

Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку [a,b] і диференційована в інтервалі (а,b).для того, щоб функція f була зростаючою (спадною) на проміжку [a,b], необхідно і достатньо виконання двох умов:

1.

2. рівність не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в [a,b].

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку [a,b] і диференційована в інтервалі (а,b). Якщо , то f зростає (спадає) на [a,b].

Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції діють у такий спосіб:

1. Знаходять:

а)область визначення функції , якщо вона наперед не задана;

б)похідну даної функції ;

в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівняння , а також точки, в яких функція визначена, але похідна не існує, їх називають критичними точками.

2. Визначають знак похідної на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.

Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції

Розв’язання

Функція визначена і диференційована на множині R.

Знайдемо її похідну .

Нулями похідної є х₁=1, х₂= .

Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах . Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х², то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто на інтервалах і від’ємних між коренями, тобто на інтервалі .

Отже, на інтервалах функція f зростає, а на інтервалі – спадає.

Відповідь. На інтервалах функція f зростає, а на інтервалі – спадає.

Приклад. Довести, що функція спадає на R.