Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.
Теорема 3.1 Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .
Предложение 3.3 Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:
Доказательство. Действительно, постоянные и -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .
Теорема 3.2 Пусть функции f и, g таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .
Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,
(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,
а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .
Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:
Теорема 3.3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .
Теорема 3.4 Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 202 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!