![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Под знаком предела
числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
Доказательство. Пусть в точке х = х 0 имеем f (x) ~ α(x). В этом случае
,
что и требовалось доказать.
Вопрос №29 Эквивалентность, связанная с первым заметательным пределом.
Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида ) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы
создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.
Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак
вместо
.
1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность
и
при
означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.
2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.
3) . Докажем эту эквивалентность:
4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену
и применив предыдущую табличную формулу.
5) . Для доказательства воспользуемся формулой
. Далее, имеем:
Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.
6) (
). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
и мы доказали формулу 6.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
)
.
7) (
). Для доказательства сделаем замену
и выразим
через
:
. Согласно формуле 6,
при
, откуда
. Из непрерывности логарифма следует, что
и, значит,
при
. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного
на
, чтобы получить формулу 7.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
)
.
При .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 2358 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!