Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Под знаком предела
числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
Доказательство. Пусть в точке х = х 0 имеем f (x) ~ α(x). В этом случае
,
что и требовалось доказать.
Вопрос №29 Эквивалентность, связанная с первым заметательным пределом.
Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида ) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.
Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .
1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.
2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.
3) . Докажем эту эквивалентность:
4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.
5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:
Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.
6) (). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
и мы доказали формулу 6.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
) .
7) (). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
) .
При .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 2357 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!