Учебные издания

1.Кузнецов, Б.Т. Математика [Текст]: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Б. Т. Кузнецов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 719 с. - ISBN 5-238-00754-Х

2.Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-003449-2

3.Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. Математика. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-002673-2

4.Шипачев, В. С. Основы высшей математики [Текст]: учебное пособие для ВУЗов / В. С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2009.

5. Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии [ЭР]: учебник для ВУЗов. - М.: Физматлит, 2005 (рекомендована УМО)

6. Малугин, В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций [ЭР]. - М.: ЭКСМО, 2006. (рекомендована УМО)

Перечень умений

№ п/п	Умение	Алгоритм
	Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы А порядка n	1. Составить характеристический многочлен . 2. Написать характеристическое уравнение . 3. Найти корни характеристического уравнения – собственные числа матрицы А. 4. Для каждого составить систему уравнений для определения собственных векторов, отвечающих собственному числу . 5. Найти фундаментальную систему решений полученной системы – базис собственного подпространства . 6. Объединить все найденные системы по всем различным корням характеристического многочлена. Получаем линейно независимую систему из собственных векторов матрицы А
	Построить ортогональную систему векторов по заданной линейно независимой системе (ортогонализовать систему векторов )	1. Положить . 2. , где . Получаем ортогональную пару векторов . 3. Для любого k =3, 4,…, m . 4. Выписать полученную систему ортогональных векторов g 1, g 2,…, g 3 линейные оболочки системы { f } и { g } совпадают: L (f 1, f 2,…, f m) = L (g 1, g 2,…, g m)
	Выписать матрицу А квадратичной формы Q (x) = (Ax,x), где x R. Проверить, будет ли квадратичная форма положительно определенной (по критерию Сильвестра)	1. Пусть Тогда матрица квадратичной формы , здесь . Получится симметричная матрица А. 2. Вычислить все угловые миноры матрицы А. . 3. Применить критерий Сильвестра: если , то квадратичная форма положительно определена
	Привести квадратичную форму Q (x) к каноническому виду ортогональным преобразованием ()	1. Выписать симметричную матрицу А квадратичной формы. 2. Найти собственные числа матрицы А. 3. Найти собственные векторы , отвечающие собственным значениям . Они образуют базис в R3 4. Ортогонализовать базис , т.е. получить ортогональный базис .
№ п/п	Умение	Алгоритм
		5. Нормировать базис { g }: . – ортонормированный собственный базис матрицы А. 6. Составить ортогональную матрицу С, столбцами которой служат собственные векторы n1, n2, n3. С – ортогональная матрица перехода от стандартного базиса { e } к базису . 7. Сделать замену переменных х=Су, которая приводит квадратичную форму Q (x)=(Ax, x) к каноническому виду . 8. Записать обратное преобразование координат
	Привести центральную кривую второго порядка с центром в начале координат к каноническому виду (предварительно следует убедиться в том, что центр находится в начале координат)	1. Выписать матрицу квадратичной формы , где a 21 = a 12. 2. Найти собственные числа l1, l2. 3. Найти ортонормированные собственные векторы n1, n2,. 4. Составить матрицу перехода С от базиса { e } к базису . 5. Записать канонический вид кривой . 6. Определить тип кривой, сделать чертеж
	Проверить, образует ли линейное подпространство множество W, в котором определены операции сложения и умножения на число	1. Пусть , т.е. для них выполнены условия, определяющие множество W. Составить вектор , где – произвольные числа. 2. Выяснить, принадлежит ли вектор z множеству W, т.е. выполнены ли для z условия, определяющие множество W. 3. Сделать вывод: если ZÎW, то W – подпространство; в противном случае, множество W не является подпространством
	Выяснить, образует ли данная система векторов { f } базис линейного пространства	1. Выписать стандартный базис { e } данного линейного пространства и определить размерность пространства. 2. Определить координаты данной системы векторов { f } в стандартном базисе { e }. 3. Составить матрицу А из координат векторов { f } в базисе { e }. 4. Найти ранг матрицы А. 5. Сделать вывод: если rank А равен размерности пространства, то система { f } образует базис, в противном случае – нет
	Найти координаты вектора х в новом базисе { f }, если он задан в базисе { e }	1. Определить координаты новой системы { f } по старому базису { e }. 2. Записать координаты вектора по базису { e } в j-ый столбец матрицы С. Полученная невырожденная матрица есть матрица перехода С от старого базиса { e } к новому базису { f }. 3. Пусть – вектор–столбцы координат х в соответствующих базисах. .
№ п/п	Умение	Алгоритм
		4. Найти обратную матрицу . 5. Вычислить координаты вектора х в новом базисе { f }:
	Проверить линейность заданного оператора	1. Составить вектор , где – числа, . 2. Найти образ . 3. Найти образы Ах и Ау. 4. Проверить, совпадают ли векторы и . . 5. Сделать вывод: если равенство в п. 4 верно, то оператор А – линейный, в противном случае – нет
	Написать матрицу оператора А в заданном базисе { e }	1. Найти образы базисных векторов и записать их координаты в исходном базисе { e }. 2. Записать в k -й столбец А координаты вектора по базису { e }. Полученная матрица А – матрица оператора А в базисе { e }
	Найти координаты образа у=Ах в заданном базисе { e }	1. Написать матрицу А оператора А в базисе { e }. 2. Выписать вектор–столбец xe координат х в базисе { e } и определить координаты ye вектора у в базисе { e }: ye = A × xe
	Определить, как меняется матрица оператора А при переходе от базиса { e } к базису { f }	1. Составить матрицу перехода С от { e } к { f }, вычислить . 2. Записать матрицу оператора А в базисе { e }. 3.Вычислить матрицу оператора в базисе { f }:
	В пространстве P многочленов степени задана система векторов и преобразование А. Убедиться, что { f } – базис, оператор А – линейный, написать матрицы оператора А в базисах { e } и { f }, где { e } – стандартный базис	1. Выписать стандартный базис пространства P; . 2. Выяснить, образует ли система векторов { f } базис пространства P (см. умение 7) 3. Проверить линейность оператора А (см. умение 9) 4. Выписать матрицу перехода С от базиса { e } к базису { f } (см. умение 8), вычислить . 5. Написать матрицы оператора А в базисах { e } и { f }. 6. Убедиться, что A f= C –1 A e C

Тематический обзор*

1 СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ