ЮНИТА 3

Гуманитарная

Академия

Дистанционное образование

________________________________________________________

РУ.01;2

Рабочий учебник

Фамилия, имя, отчество обучающегося___________________________________________________

Направление подготовки_______________________________________________________________

Номер контракта______________________________________________________________________

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЮНИТА 3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

ЧАСТЬ II

МОСКВА 2009

Разработано Е.Л. Кошелевой, канд. тех. наук, доц.,

И.А. Красовской, Д.Х. Керимовой

Под ред. Б.П. Осиленкера, д-ра физ.-мат. наук, проф.

Рекомендовано Учебно-методическим

советом в качестве учебного пособия

для студентов СГА

КУРС: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Юнита 1. Элементы векторной алгебры. Аналитическая геометрия.

Юнита 2. Линейная алгебра. Часть I.

Юнита 3. Линейная алгебра. Часть II.

ЮНИТА 3

Изложены основные понятия линейной алгебры: собственные числа и собственные векторы матриц, собственный базис симметричной матрицы; квадратичная форма, приведение квадратичной формы и кривой второго порядка к каноническому виду, знакоопределенность квадратичной формы, критерий Сильвестра; линейные пространства, линейные операторы, действующие в линейных пространствах, их матрицы.

Рабочий учебник составлен на основе дидактических единиц учебников, имеющих гриф Министерства образования и науки Российской Федерации или Учебно-методического объединения:

1. Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-003449-2

2. Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. Математика. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-002673-2

Для студентов Современной Гуманитарной Академии

_____________________________________________________________________________________

© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2009

(настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано
и распространено в качестве официального издания без разрешения руководства СГА)

Соответствие системы менеджмента качества СГА в сфере создания информационных образовательных ресурсов требованиям международного стандарта ISO 9001:2000 (ГОСТ Р ИСО 9001-2001) подтверждено
Сертификатом соответствия Стандарт-тест

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Дидактический план.. 4

Литература.. 5

Перечень умений.. 6

Тематический обзор. 9

1 СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ... 9

1.1 Определение. Основные свойства собственных векторов. 9

1.2 Характеристический многочлен. 11

1.3 Собственное подпространство. 13

2 ПРИВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ.. 16

2.1 Скалярное произведение в пространстве Rⁿ. Процесс ортогонализации. 16

2.2 Ортогональная матрица. 18

2.3 Собственный базис симметричной матрицы.. 21

3 Квадратичная форма. Приведение к каноническому виду.. 23

3.1 Основные определения. Матрица квадратичной формы.. 23

3.2 Преобразование матрицы при линейной замене переменных. 25

3.3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным
преобразованием.. 26

3.4 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. 27

3.5 Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. 30

4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.. 34

4.1 Определение линейного пространства. 34

4.2 Линейная зависимость. 35

4.3 Базис и координаты. Размерность пространства. 37

4.4 Матрица перехода. 39

4.5 Подпространство. 41

4.6 Евклидовы пространства. 43

5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ... 48

5.1 Определение и примеры.. 48

5.2 Матрица линейного оператора. 50

5.3 Самосопряженный оператор. 54

Приложение 1 Перпендикуляр из точки на пространство. 58

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 О приближенном вычислении собственных значений матрицы.. 62

Задания для самостоятельной работы... 65

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ.. 71

ГЛОССАРИЙ.. 110

Дидактический план

Собственные числа и собственные векторы матрицы. Определения и примеры. Основные свойства собственных векторов. Характеристический многочлен и его корни. Собственное подпространство, его размерность.

Симметричная матрица, ее собственные числа и векторы. Скалярное произведение в пространстве . Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис. Ортогональная матрица. Симметричная матрица, свойства ее собственных значений и векторов. Существование ортонормированного собственного базиса. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду.

Квадратичная форма и ее приведение к каноническому виду. Определение. Координатная и матричная запись. Матрица квадратичной формы. Ее преобразование при линейной замене переменных. Канонический вид. Приведение к каноническому виду ортогональным преобразованием. Упрощение уравнения кривой второго порядка. Знак квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции.

Линейные пространства. Основные аксиомы и примеры. Подпространство. Линейная независимость. Линейная оболочка. Размерность подпространства. Матрица перехода. Евклидово пространство.

Линейные операторы (преобразования). Определение и примеры. Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами в различных базисах. Самосопряженный оператор, его матрица. Приведение симметричной матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

Литература*