Критерий согласованности экспертов удобно пред­ставить в виде отношения

Легко заметить, 0≤W≤1. При W=0 эксперты пол­ностью несогласны, а при W=l они высказываются как один, т. е. единогласно. Таким образом, значение W ха­рактеризует степень согласованности экспертов.

Чем ближе W к единице, тем более единодушны эксперты и тем более достоверен результат ранжирования. (Сле­дует отметить, что эксперты должны высказывать свое мнение независимо друг от друга, т. е. до ранжирования они -не должны знать мнение других экспертов. В про­тивном случае возможно появление корреляции мнений, что повышает критерий согласованности W, хотя в дей­ствительности эксперты не столь единодушны).

Для того чтобы знать, велико или мало конкретное значение критерия согласованности, который никогда не бывает равным ни нулю, ни единице, можно 'предло­жить следующий подход. Предположим, что т из N экспертов абсолютно компетентны, а остальные N—т совершенно некомпетентны, т. е. принимают свое реше­ние чисто случайно (хотя такого, как правило, не бы­вает). Тогда дисперсия средних рангов

Разделив все на D_макс, получим:

W=m/N.

Это значит, что W выражает долю абсолютно компе­тентных экспертов. Так, при W=0,3 можно считать, что 30% экспертов были вполне компетентны, а остальные 70% принимали свое решение случайно, что, естествен­но, могло оказать роковое влияние на окончательную ранжировку (а могло и не оказать!).

Отсутствие согласованности мнений экспертов может иметь двоякое объяснение. Во-первых, это возможно из-за некомпетентности экспертов, связанной с новизной или слабой изученностью объекта идентификации. Во-вторых сложность объекта затрудняют эксперта в ответах о рангах факторов. Эксперту в этом случае проще сопоставить важность некоторых факторов по­парно, т. е. указать, чей ранг одного из двух факторов будет больше. Именно в таких ситуациях обращаются к методу парных сравнений, который мы и рассмотрим ниже.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи структурной идентификация вы знаете?

2. Что понимается под ранжированием входов и выходов объекта?

3. В чем заключается сущность метода непосредственного ранжирования?

Литература

30.

31.

32.

33.

34.

Лекция 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Метод парных сравнений

2. Определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели

3. Определение характера связи между входом и выходом модели объекта

1. Метод парных сравнений

Эксперту предлагается проранжировать факторы по­парно, т. е. каждой паре факторов х_i и x_l поставить в соответствие число q_il:

где знак “ ” обозначает предпочтительность. Так, вы­ражение х_i x_l следует читать: “ i -й фактор более пред­почтителен при ранжировании, чем l -и”. Знак ~ явля­ется знаком эквивалентности факторов с точки зрения ранжирования. Числа q_il обладают очевидным свой­ством

q_il + 0= q_il.

Таким образом, каждый (j -и) эксперт свое мнение представляет в виде таблицы п×п (табл. 1)

или

где верхний индекс определяет номер эксперта.

Таблица 2-1

	x1	X2	...	xn
x1		qj12	...	qj1n
x2	qj21		...	qj2n
. . .	. . .	. . .	... ... ...	. . .
xn	qjn1	qjn2	...

Осредним мнение экспертов. Для этого достаточно построить осредненную таблицу (n×n)

где

— среднее предпочтение i -го фактора перед l -м. Это и есть мнение экспертов. Определим согласованность экс­пертов. В качестве меры согласованности аналогично предыдущему естественно выбрать дисперсию величин . В силу того, что среднее значение равно нулю, для дисперсии получаем:

где суммирование производится по всей таблице . Максимальное значение дисперсии будет иметь место при полной согласованности экспертов и равно:

Тогда, вводя критерий согласованности как отноше­ние дисперсии средних предпочтений к максимальной дисперсии, получаем:

Однако эксперты могут противоречить. Примером такой таблицы может служить табл. 2, где проти­воречие имеет вид , т.е. оказалось что и одновременно.

Таблица 2

	x1	x2	x3
x1			-1
x2	-1
x3		-1

Выявление подобных противоречий совершенно не­обходимо не только в осредненной таблице, но и в мне­нии каждого эксперта. Это можно сделать на основе. следующего, довольно очевидного правила, которое на­зывается правилом транзитивности.

Для предпочтений оно имеет вид:

если х₁ х₂ и x₂ х₃, то х₁ х₃. (5)

Для эквивалентности:

если х₁ ~ х₂ и x₂ ~ х₃, то х₁ ~ х₃

Таблицы, представляющие собой мнение каждого эксперта, должны удовлетворять указанной транзитив­ности и при обнаружении противоречий возвращаются соответствующему эксперту для разрешения отмечен­ных противоречий.

Для определения рангов ранжируемых факторов следует определить правило назначения рангов по таб­лице Q. Таких правил может быть много. Рассмотрим два из них,

Правило 1. Определим суммарные предпочтения каж­дого фактора

Естественно считать, что первый ранг имеет фактор, суммарное предпочтение которого максимально, т. е. при

первый ранг имеет фактор x_z, т. е. k_z= 1. Аналогично образуются ранги остальных факторов.

Рассмотренное правило, однако, излишне осредняет предпочтения. Так, фактор, имеющий ряд явных пред­почтений, которые легко обнаруживают эксперты, полу­чит первый ранг только потому, что его второстепенность по отношению к другим факторам будет не столь ярко выражена. Именно в этом случае часто приходит­ся обращаться к другому правилу.

Правило 2. Основная мысль этого правила опирает­ся на идею усиления контраста. Для этого вводится по­рог δ. Если предпочтение выше этого порога, то оно имеет явный характер, а если ниже, то оно сомнительно, т. е. больше соответствует эквивалентности. Получаем следующее преобразование матрицы средних предпочте­ний в контрастную матрицу U, которую легко преоб­разовать в ранжированный ряд:

где

Как видно, это преобразование целиком и пол­ностью определяется порогом δ (0<δ<1). При δ=1 контрастная матрица U становится нулевой и все фак­торы эквивалентны. При δ=0 она полностью заполняет­ся единицами, но при этом почти неизбежно появление противоречий в виде нарушений транзитивности пред­почтений (5).

Поэтому при выборе порога δ следует помнить, что его увеличение приводит к отказу от ранжирования, а уменьшение—к увеличению числа явных предпочте­нии и к опасности появления противоречий.

Одной из возможных рекомендаций по определению оптимального порога является выбор порога δ на “по­роге противоречий”, т. е. такого значения δ, незначи­тельное уменьшение которого приводит к противоречиям.

2. Определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели

Описанным выше образом получаются ранжирован­ные ряды всех претендентов на входы и выходы мо­дели:

(6)

(здесь для удобства произведена перенумерация ранжи­рованных факторов таким образом, чтобы их номер стал равен рангу, т. е. k_i=i).

Выбор рациональных чисел n*, q* и m*, характери­зующих модель, т. е. размерность ее входов и выходов, следует также производить экспортно. Для этого нужно начать с минимального числа входов и выходов (n₁, q₁, m₁, т. е. с простейшей модели, например, с n₁=0; q₁=m₁=1). Назовем эту модель F ₁ [характер связи Y=F ₁ (X, U), где Y =(y₁,..., y_m1); X =(x₁,..., x_n1); U=(u₁,..., u_q1): при этом выяснять.не нужно, модель рассматривается как “черный ящик”]. Таким образом, первая, простейшая модель характеризуется тройкой F₁=<n ₁, q₁, т₁>. Вторая модель F₂=<n₂, q₂, m₂ > должна быть выбрана экспертами из трех:

(7)

Здесь мы воспользовались ранжированными рядами (6), что позволяет усложнять объект введением фак­тора, имеющего очередной ранг.

Эксперты ранжbруют тройки (7) по критериям, за­ранее оговоренным. Тройка, получившая первый ранг, образует F₂. Аналогично (i +1)-я модель F_i+1 опреде­ляется ранжированием трех полученных из F_i троек:

Таким образом, получим последовательность моделей объекта F₁, F₂,..., F_l, расположенных в порядке их уточнения и усложнения. Теперь остается в этом ряду установить предпочтение, т. с. выбрать ту модель, ко­торая и будет идентифицироваться. Это можно также сделать с помощью экспертов. Пусть в результате по­лучен ряд предпочтений:

Это означает, что следует остановиться на модели

F_z=(n_z, q_z, m_z)

и таким образом n*=n_z, q*=q_z, m*=m_z.

3. Определение характера связи между входом
и выходом модели объекта

Мы уже говорили, что структура модели определя­ется видом оператора модели F. Этот оператор, прежде всего, характеризуется кодом A. C него и следует на­чинать.

Определение кода A требует четырех двоичных вы­боров:

где каждый из признаков может принимать одно из двух значений: 0 или 1. Анализ следует начинать с про­стейшего (нулевого) случая. Действительно, код А по­строен так, что наличие трудностей в процессе иденти­фикации отражается единицами кода. Так, динамиче­ский объект (α=1) труднее идентифицировать, чем статический (α =0); стохастический (β =1) труднее де­терминированного (β= 0), нелинейный (γ =1) сложнее линейного (γ =0) и т. д.

В процессе выбора кода A модели следует иметь в виду, что, учитывая эти трудности, вполне можно на­меренно “снизить” модель, т.е. сделать ее значительно проще объекта. Так, поведение заведомо динамического объекта можно описывать статической моделью, если динамика объекта не слишком ярко выражена; нелиней­ный объект можно аппроксимировать линейным и т. д. Разумеется, что при этом эффективность управления, построенного на основе такой модели, снизится. Но если это снижение невелико, а выигрыш в идентификации значителен, то такой выбор следует считать опти­мальным.

После выбора кода A модели следует определить конкретную форму ее оператора F.

Контрольные вопросы

1. Чем различается два правила для определения рангов ранжируемых факторов в методе парных сравнений?

2. Как определяется рациональное число входов в выходов объекта?

3. Как определяется характер связи между входом и выходом модели объекта?

Литература

35.

36.

37.

38.

39.

Лекция 9. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ (2 часа)

План

1. Потоки заявок

2. Марковские модели

1. Потоки заявок

Простейший поток. При аналитическом моделировании характеристики системы вычисляются наиболее просто для потока заявок, называемого простейшим. Простейший поток — это поток заявок, который обладает следующими свойствами: 1) стационарность; 2) отсутствие последействия; 3) ординарность.

Стационарность означает постоянство вероятности того, что в течение определенного временного интервала поступит одинаковое количество заявок вне зависимости от расположения интервала на оси времени.