Где Р (k, — вероятность того, что за время т в систему поступит точно k заявок; — интенсивность потока заявок

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны . Вид зависимостей этого распределения при для разных , показан на рис. 1.

Следует подчеркнуть, что распределение Пуассона дискретно. Стационарный пуассоновский поток является простейшим.

Если нестационарный поток, интенсивность которого представляет собой функцию времени , описывается законом распределения Пуассона, то такой поток называется пуассоновским, но не простейшим. В распределении Пуассона длительности интервалов между двумя последовательными заявками — это случайные величины с экспоненциальным распределением.

Эрланговский поток. В общем случае интервалы времени между поступлением заявок могут иметь функцию распределения общего вида G (). Если интервалы независимы, то говорят, что заявки образуют рекуррентный поток или поток с ограниченным последействием.

Поток называется рекуррентным (потоком Пальма), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между заявками представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением. Тогда простейший поток рассматривается как частный случай рекуррентного потока. Примером рекуррентного потока может служить поток Эрланга.

Рис. 2. Потоки Эрланга

Потоком Эрланга го порядка называется поток, у которого интервалы времени между моментами поступления двух последовательных заявок представляют собой сумму k независимых случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону с параметром . Поток Эрланга получается из простейшего путем исключения (k — 1) заявок с сохранением каждой k-й заявки (рис. 2). Плотность распределения интервала времени между двумя соседними заявками в потоке Эрланга k-го порядка

(7)

Поток Эрланга превращается в простейший при k = 1. Приведенные потоки наиболее широко используются в теории массового обслуживания, в том числе при аналитическом моделировании ВС.

2. Марковские модели

Общие сведения. В теории массового обслуживания к наиболее изученным и исследованным относятся модели, у которых случайный процесс функционирования относится к классу марковских процессов, т. е. марковские модели.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

При исследовании ВС аналитическим моделированием наибольшее значение имеют марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния z1, z2,... можно заранее перечислить, т. е. состояния системы принадлежат конечному множеству, и переход системы из одного состояния в другое происходит мгновенно.