Любой поток, обладающий этими свойствами, является простейшим

У простейшего потока интервалы времени между двумя последовательными заявками — независимые случайные величины с функцией распределения:

F()=l-e ^- . (1)

Такое распределение называется экспоненциальным (показательным) и имеет плотность

f()= , (2)

математическое ожидание длины интервала

(3)

дисперсию

(4)

и среднеквадратическое отклонение, равное математическому ожиданию. Экспоненциальное распределение характеризуется одним количественным параметром — интенсивностью.

Простейшие потоки заявок обладают следующими особенностями:

1. Сумма М независимых, ординарных, стационарных потоков с интенсивностями сходятся к простейшему потоку с интенсивностью

(5)

при условии, что складываемые потоки оказывают примерно одинаковое малое влияние на суммарный поток.

2. Поток заявок, полученный в результате случайного разрежения исходного стационарного ординарного потока, имеющего интенсивность Я,, когда каждая заявка исключается из потока с определенной вероятностью р независимо от того, исключены другие заявки или нет, образует простейший поток с интенсивностью р .

3. Интервал времени между произвольным моментом времени и моментом поступления очередной заявки имеет экспоненциальное распределение с таким же математическим ожиданием 1/ , что и интервал времени между двумя последовательными заявками.

4. Простейший поток создает тяжелый режим функционирова­ния системы, поскольку, во-первых, большее число (63 %) про­межутков времени между заявками имеет длину меньшую, чем ее математическое ожидание 1/ , и, во-вторых, коэффициент вариации,

Рис. 1. Распределение Пуассона

равный отношению среднеквадратичес-кого отклонения к математическому ожиданию:

и характеризующий степень нерегулярности потока, равен единице, в то время как у детерминированного потока коэффициент вариации = 0, а для большинства законов распределения 0< <1.

Простейший поток имеет широкое распространение не только из-за аналитической простоты связанной с ним теории, но и потому, что большое количество реально наблюдаемых потоков статистически не отличимы от простейшего. Этот эмпирический факт подтвержден рядом математических моделей, в которых при довольно общих условиях доказывается, что поток близок к простейшему.

Пуассоновский поток. Пуассоновским потоком называется ординарный поток заявок с отсутствием последействия, у которого' число заявок, поступивших в систему за промежуток времени т, распределено по закону Пуассона:

(6)