![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:
Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на
по вышеприведенной формуле перехода. Следствия:
Ещё одно полезное тождество:
Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны
), а тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны.
21. Степень с иррациональным показателем.
Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу число
. Тем самым получим числовую функцию f(x) = ax, определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = ax постоянна, так как 1x=1 для любого рационального х.
Нанесем несколько точек графика функции у =2x предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2x на отрезке [—2; 3] с шагом 1/4 (рис. 1, а), а затем с шагом 1/8 (рис. 1, б).Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16, 1/32 и т. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения в рациональных точках
(рис. 1, в). Построив достаточно большое число точек графика функции
, можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция
убывает на R).
Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2α и для каждого иррационального α, что функции, задаваемые формулами y=2x и
будут непрерывными, причем функция у=2x возрастает, а функция
убывает на всей числовой прямой.
Опишем в общих чертах, как определяется число aα для иррациональных α при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = ax была возрастающей. Тогда при любых рациональных r1 и r2, таких, что r1<α<r2, значение aα должно удовлетворять неравенствам ar1<аα<аr1.
Выбирая значения r1 и r2, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения ar1 и ar2 будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех ar1 для всех рациональных r1и меньше всех ar2 для всех рациональных r2. Это число у по определению есть аα.
Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2x в точках хn и х`n, где хn и х`n — десятичные приближения числа мы обнаружим, что, чем ближе хn и х`n к
, тем меньше отличаются 2xn и 2x`n.
Так как , то
и, значит,
Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения по недостатку и избытку, приходим к соотношениям
;
;
;
;
.
Значение вычисленное на калькуляторе, таково:
.
Аналогично определяется число aα для 0<α<1. Кроме того полагают 1α=1 для любого α и 0α=0 для α>0.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 260 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!