Показательная функция и ее алгебраические свойства

Пусть — неотрицательное вещественное число, — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.

• Если , то .
• Если и , то .
• Значение не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
• Если и , то .
• Значение при не определено.

Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

Свойства

График экспоненты

• 
• 
• 
• 

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

Доказательство [скрыть]

I. Докажем, что

. Ч. т. д.

Докажем, что . Пусть , тогда . Если , то

II. Ч. т. д.

Разложение в ряд:

.

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

20. Существование логарифмов. Логарифмическая функция и ее алгебраические свойства.

Логарифмическая функция обратна к показательной

Графики логарифмических функций