Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, о непрерывности сложенных функций

Теорема:

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны.

Доказательство:

Докажем для произведения.

Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:

.

Теорема:

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Доказательство:

Т.к. - непрерывна, то , т.е. при имеем . Поэтом (т.к. - непрерывна) имеем: .