Сравнение бесконечно малых

[ править ] Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.
• Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.
• Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.
• Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

[ править ] Примеры сравнения

• При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .

• то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи и

• При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.