Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной переменной

Докажем несколько теорем, которые эквивалентны основному свойству множества действительных
чисел (Свойство V).

Теорема (4.1.1) (Кантор.Г) Пусть задана последовательность отрезков _n = [ a_n, b_n ], n = 1, 2... на , вложенных друг в друга, т.е таких, что

_{1 2 3} ... _n ...

и длины отрезков d_n = b_n - a_n 0, при n . Тогда существует и притом одна единственная точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам { _n }.
Доказательство. Возьмем любое n . Ясно, что для любого k (из вложенности системы отрезков)

a ₁ a ₂ a ₃ ... a_k ... b_n ... b ₂ b ₁

Рассмотрим последовательность правых концов отрезков ситемы { a_k }. Она монотонно возрастает и ограничена сверху, например числом b_n. Тогда по основной теореме 2.4.1, существует число (точка) с такое, что a_k с и для любого k: a_k с b_n. В частности, при k = n: a_n с b_n, что означает, что с _n.
Так как n было взято произвольным, то точка с принадлежит всем отрезкам _n, n = 1, 2....

Рис. 4.1.1

Найденная точка единственная, так как, если существует c ₁ c и для любого n: c ₁, c _n, то для любого n выполняются неравенства 0 | c ₁ - c | b_n - a_n, что противоречит тому, что b_n - а_n 0 при n .

Замечание 4.1.1 а_n с b_n, то есть последовательность { а_n } левых концов отрезков _n монотонно возрастая, стремится к точке с, а последовательность { b_n } правых концов отрезков _n, монотонно убывая, стремится к с. Действительно,

| a_n - c | b_n - a_n 0 и | b_n - c | b_n - a_n 0

Замечание 4.1.2 В множестве рациональных чисел этого свойства, вообще говоря, нет. Например,
с = , а

Ясно, что эта последовательность отрезков удовлетворяет условиям теоремы Кантора, но общая единственная точка с = - иррациональное число, следовательно, в множестве рациональных чисел общих точек у этой системы отрезков нет, т.е.

Замечание 4.1.3 То, что в теореме Кантора речь идет о системе отрезков (а, например, не интервалов) существенно. Достаточно рассмотреть систему интервалов

^{Ясно,что}