![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
17.непрерывность сложной функции. Обратная функция и ее непрерывность/
Теорема о непрерывности сложной функции.
Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что
,
что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <
Обратите внимание на следующие детали:
а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d, и f(x) превращается в F(j(t));
б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения
. Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.
Определение. Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке <a,b>, значения которой принадлежат некоторому отрезку <c,d>. Если
,
то говорят, что на отрезке <c,d> определена функция, обратная к функции f(x) и обозначают это так:x=f(-1)(y).
Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка <c,d> сплошь. В определении f(-1)(…) стоит квантор , т.е. значение х, обеспечивающее равенство y=f(x), должно быть единственным, в то время как в определении заполненности отрезка<c,d> сплошь стоит квантор
, что говорит о том, что может быть несколько значений х, удовлетворяющих равенству y=f(x).
Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(x «y) и пишут y=f(-1)(x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f(-1)(x) удовлетворяют соотношению
f(-1)(f(x))=f(f(-1)(x))=x.
Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.
Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [f(a),f(b)] определена обратная функция f(-1)(x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).
Доказательство.
Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.
Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок [f(a),f(b)] заполнен сплошь. Это означает, что .
Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’<x, то будет f(x’’)<f(x)=y и поэтому f(x’’)<y. В обоих случаях f(x)¹ y и поэтому x единственно. Следовательно, х=f(-1)(y) и f(-1)(…) существует.
Сделаем обычную замены x «y и будем писать y= f(-1)(x). Это значит, что x=f(y).
Пусть x1>x2. Тогда:
y1= f(-1)(x1); x1=f(y1)
y2= f(-1)(x2); x2=f(y2)
Какое же соотношение между y1 и y2? Проверим возможные варианты.
а) y1<y2? Но тогда f(y1)<f(y2) и x1<x2, а у нас было x1>x2.
б) y1=y2? Но тогда f(y1)=f(y2) и x1=x2, а у нас было x1>x2.
в) Остается единственный вариант y1>y2, т.е. Но тогда f(-1)(x1)>f(-1)(x2), а это и означает, что f(-1)(…) строго монотонно возрастает.
Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок [a,b], то по предыдущей теореме f(-1)(…) непрерывна. <
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 397 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!