На листочке с вопросами на обороте

17.непрерывность сложной функции. Обратная функция и ее непрерывность/

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t₀)|<d может быть записано как |x-x₀|<d, и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

Определение. Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке <a,b>, значения которой принадлежат некоторому отрезку <c,d>. Если

,

то говорят, что на отрезке <c,d> определена функция, обратная к функции f(x) и обозначают это так:x=f^(-1)(y).

Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка <c,d> сплошь. В определении f^(-1)(…) стоит квантор , т.е. значение х, обеспечивающее равенство y=f(x), должно быть единственным, в то время как в определении заполненности отрезка<c,d> сплошь стоит квантор , что говорит о том, что может быть несколько значений х, удовлетворяющих равенству y=f(x).

Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(x «y) и пишут y=f^(-1)(x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f^(-1)(x) удовлетворяют соотношению

f^(-1)(f(x))=f(f^(-1)(x))=x.

Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.

Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [f(a),f(b)] определена обратная функция f^(-1)(x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).

Доказательство.

Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.

1. Существование обратной функции.

Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок [f(a),f(b)] заполнен сплошь. Это означает, что .

Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’<x, то будет f(x’’)<f(x)=y и поэтому f(x’’)<y. В обоих случаях f(x)¹ y и поэтому x единственно. Следовательно, х=f^(-1)(y) и f^(-1)(…) существует.

1. Монотонность обратной функции.

Сделаем обычную замены x «y и будем писать y= f^(-1)(x). Это значит, что x=f(y).

Пусть x₁>x₂. Тогда:

y₁= f^(-1)(x₁); x₁=f(y₁)

y₂= f^(-1)(x₂); x₂=f(y₂)

Какое же соотношение между y₁ и y₂? Проверим возможные варианты.

а) y₁<y₂? Но тогда f(y₁)<f(y₂) и x₁<x₂, а у нас было x₁>x₂.

б) y₁=y₂? Но тогда f(y₁)=f(y₂) и x₁=x₂, а у нас было x₁>x₂.

в) Остается единственный вариант y₁>y₂, т.е. Но тогда f^(-1)(x₁)>f^(-1)(x₂), а это и означает, что f^(-1)(…) строго монотонно возрастает.

1. Непрерывность обратной функции.

Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок [a,b], то по предыдущей теореме f^(-1)(…) непрерывна. <