![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Теорема. Если элементы сходящейся последовательности { xn }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности { xn }, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | xn - a | < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Замечание. Элементы сходящейся последовательности { xn } могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если
, то xn > 0, однако
.
Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей { xn } и { yn }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:
В самом деле, элементы последовательности { yn - xn } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел
. Отсюда следует, что
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности { xn } находятся на сегменте [ a, b ], то и ее предел c также находится на этом сегменте.
В самом деле, так как a ≤ xn ≤ b, то a ≤ c ≤ b.
Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.
Теорема. Пусть { xn } и { zn } - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { yn } удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn. Тогда последовательность { yn } сходится и имеет предел a.
Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность { yn - a } является бесконечно малой. Обозначим через N* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства xn - a ≤ yn - a ≤ zn - a. Отсюда следует, что при n ≥ N* элементы последовательности { yn - a } удовлетворяют неравенству
| yn - a | ≤ max {| xn - a |, | zn - a |}.
Так как
и
, то для любого ε > 0 можно указать номера N 1 и N 2 такие, что при n ≥ N 1 | xn - a | < ε, а при n ≥ N 2 | zn - a | < ε. Пусть N = max{ N*, N 1, N 2}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство | yn - a | < ε. Итак, последовательность { yn - a } - бесконечно малая. Теорема доказана.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1103 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!