Предел сложной функции. Предельный переход в неравенствах. Предельный переход в неравенствах

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности { x_n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности { x_n }, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | x_n - a | < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности { x_n } могут удовлетворять строгому неравенству x_n > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то x_n > 0, однако .

Следствие 1. Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей { x_n } и { y_n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≤ y_n, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности { y_n - x_n } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности { x_n } находятся на сегменте [ a, b ], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

Теорема. Пусть { x_n } и { z_n } - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { y_n } удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность { y_n } сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность { y_n - a } является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности { y_n - a } удовлетворяют неравенству

| y_n - a | ≤ max {| x_n - a |, | z_n - a |}.

Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N ₁ и N ₂ такие, что при n ≥ N ₁ | x_n - a | < ε, а при n ≥ N ₂ | z_n - a | < ε. Пусть N = max{ N^*, N ₁, N ₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство | y_n - a | < ε. Итак, последовательность { y_n - a } - бесконечно малая. Теорема доказана.