Два подхода к профилированию обучения

Все, что сказано выше о профилировании обучения на основной и старшей ступенях школы, относится к концепции школьного математического образования, разработанной в отделе математического образования в рамках общей проблемы дифференциации - уровневой и профильной, в связи с активной работой над переходом к двенадцатилетнему обучению. Впрочем, в рассматриваемых вопросах, имеющих концептуальный характер, длительность обучения существенным параметром не является, хотя при адаптации этой концепции для 11-летней школы некоторые положения могут быть, безусловно, быть уточнены или даже пересмотрены. Прежде всего это касается, разумеется, отбора содержания обучения и распределения его по ступеням обучения.

В то же время основные принципы концепции - личностно ориентированное обучение, необходимость учета обеих генеральных функций математического образования, общеобразовательной и специализирующей, определяющих различные векторы обучения, создание условий делимости выбора учащимися индивидуальных траекторий обучения - остаются инвариантными.

Кроме того, рассмотренная концепция как документ, не затрагивает вопросов организации профилированного обучения и многих других не менее важных вопросов социального характера, чрезвычайно существенных с точки зрения ее практической реализации. Другими словами, в ней были представлены лишь основные принципы реформы школьного математического образования, определяющие общее направление его совершенствования.

В процессе работы над проблемой профилирования школы другой группой специалистов был подготовлен общий документ "Концепция профильного обучения" (в дальнейшем КПО), в котором предлагается путь решения этой проблемы для школы в целом, для всех учебных предметов и с учетом организационных и иных социальных факторов.

Этот документ, как показывает его изучение, был подготовлен без учета во всяком случае текста концепции, разработанной в отделе математического образования (в дальнейшем КШМО), и потому представляется важным провести их сопоставление с концептуальной точки зрения. Мы проведем такое сопоставление, опираясь не только на КПО, но и на последующие решения, принятые в дальнейшем при ее конкретизации, при определении механизма ее внедрения в школьное образование.

Прежде всего, в отличие от КШМО, где профиль имеет выраженный конкретный характер, и, например, разными профилями является исторический и политологический, филологический и лингвистический, экономический и юридический, понимание профиля в КПО ближе к тому, что в КШМО называется направлением. Это терминологическое различие можно было бы считать несущественным, если бы две концепции не классифицировали соответствующие понятия по одному, или хотя бы близким основаниям.

Однако направления в КШМО определяются ролью математики, которую она играет в жизни ученика, целями, которые он ставит перед собой в жизни, тогда как профили в КПО классифицированы в целом по характеру содержания основных изучаемых предметов - (списать названия из документа). Естественно, что документы, относящиеся к образованию в целом и к отдельной образовательной области, могут иметь различные подходы к классификации профилей-направлений, и подход, принятый в КПО, имеет полное право на существование, тем более что аналогичная - содержательная - классификация профилей существует в мировом опыте - например, во Франции, где существует несколько "секций", правда, обозначенных чисто формально буквами A, B и т.д., а не названных по их содержательным характеристикам.

Надо, однако, сказать, что именно содержательные характеристики профилей, выделенные в КПО, вызывают некоторые вопросы и даже сомнения. Например, включение "будущих математиков" в естественнонаучный профиль является отражением "вчерашних" представлений о роли математической науки в обществе, при которой взгляд на математику как на "служанку физики" есть несомненный анахронизм.

Можно предположить также, что "Информационно-технологический" профиль сужает представление о роли информатики в школьном образовании, сводит информатику - науку, сопоставимую с математикой и философией, имеющую существенную, и, главное, с точки зрения образования, гуманитарную составляющую, к информационным технологиям.

В этом плане было бы более целесообразным иметь профиль "Технологический", а учеников, ориентированных на изучение информатики, обучать в профиле естественнонаучном, а еще более научно обоснованным было бы создание специального, условно говоря, "Математико-информатического" профиля, что дало бы учесть, пожалуй, самое главное - возможность создания для учащихся в этом профиле индивидуальных траекторий обучения: пересечение множеств учащихся, для которых "главными" предметами являются математика и информатика, очевидно, весьма велико, и во всяком случае, больше, чем для математики и биологии, математики и химии.

В то же время последующие решения, принятые при обсуждении КПО в свете ее реализации, указанное противоречие подходов фактически аннулируют, поскольку предусматриваются, что в каждом профиле каждый учебный предмет будет изучаться на одном из двух уровней - базовом или профильном, а это и предусматривается в КШМО наличием курсов A и B.

Другими словами, не совпадая в плане теории две рассматриваемые концепции вполне согласуются на уровне практики, хотя определенные трудности при реализации КПО, как легко видеть, неизбежно возникнут. Так, согласно КПО, уровень изучения каждого предмета - базовый или профильный - определяется именно профилем, а в одном профиле, например, "Социально-экономическом" будут, скорее всего, изучаться будущие экономисты, обществоведы, политологи, юристы, социологи, психологи и т.д., нуждающиеся в разном уровне математической подготовки, т.е. в разных курсах математики.

В настоящее время этот уровень определяется прежде всего вступительными экзаменами в соответствующие высшие учебные заведения, и активно внедряемый сейчас ЕГЭ, при котором сама система вступительных экзаменов прекращает свое существование, по существу, мало что способен в этом отношении изменить - дело не в форме экзамена, а в его содержании, в требованиях к подготовке учащихся, которые предъявляет обучение в том или ином конкретном вузе.

Отметим, что, судя по нынешним материалам ЕГЭ по математике, его организаторам предстоит еще достаточно тяжкий путь между Сциллой и Харибдой, между объективными требованиями вузов - именно вузов, а не вступительных экзаменов в вузы - и реальными возможностями школы по подготовке учащихся для выполнения этих требований.

Еще один существенный момент, отличающий две концепции, состоит в том, что КШМО предусматривает, помимо курсов A и B, еще и курс C, соответствующий нынешнему курсу в системе углубленного изучения математики. Однако создаваемая, согласно КПО, система элективных курсов - основа дифференциации обучения внутри профиля, создающая эффективную возможность для построения индивидуальных траекторий обучения, преодолевает имеющееся формальное противоречие, и является залогом продолжения существования - под другим названием - системы углубленного изучения математики, системы, в рамках которой, прежде всего, обеспечивается, в терминах КШМО, собственно математическое образование, позволяющее сохранить традиционно высокий, признанный всем миром уровень российского математического образования.

Система элективных курсов, предполагающая создание специальных дополнительных модулей к учебнику математики, общему для всего профиля, на практике является, на наш взгляд, средством разрешения на практике вышеуказанного противоречия, возникающие вследствие обучения в одном профиле учащихся с разными целевыми установками.

Один и тот же профильный курс математики будущие физики, химики, биологи, математики, информатики смогут изучать на разных уровнях - в соответствии с сущностью профиля и личными возможностями, что переводит указанное противоречие в разряд теоретических, и разрешение его на практике, скорее всего, не вызовет проблем. В частности, авторами создан, в методологии уже существующего комплекта учебников математики для 5-9 классов, основанной на КШМО, учебник для профильного "Алгебра и начала анализа" для 10 класса, работа с которым можно уделить от 6 до 10 недельных часов -в зависимости от конкретных потребностей учащихся а математической подготовке.

В то же время нельзя не указать, что КПО, относясь лишь к старшей ступени школы, не затрагивает вопросов, связанных системой подготовке учащихся к осознанному выбору профилю обучения в старших классах, к адекватной оценке своих интересов и возможностей, тогда как в КШМО система углубленного изучения математики в 8-9 классах является неотъемлемой частью профильной дифференциации. Необходимость решения этой задачи признана "Концепцией предпрофильного обучения" [ ], и путь ее решения обозначен созданием системы элективных курсов в 9 классе.

Эффективна ли система подготовки учащихся к выбору профиля, к профессиональной ориентации в области математики в течение лишь одного года, в отличие от двух лет, предусмотренных для этой цели в КШМО, покажет только практика, однако специалисты системы углубленного изучения математики в целом относятся к этой перспективе скептически и склоняются к позиции, на которой стоит КШМО.

Таким образом, при всех теоретических различиях подходов к профилированию обучения в школе на старшей ступени, обе концепции вполне согласованы на уровне практики обучения.

Существует, однако, еще одна проблема, имеющая глобальный, методологический характер и связанная с пониманием термина базовый курс математики в КПО - аналога общеобразовательного курса в КШМО. Если название последнего очевидным образом характеризует его роль в общем образовании, определяет его цели, а следовательно, и содержание, то термин базовый вызывает естественный вопрос - для чего именно этот курс является базой?

Опубликованный в проекте стандартов школьного математического образования [Э.Д.Днепров], в число авторов которых входят и авторы настоящей статьи, на определенном уровне детально описана сущность этого курса - реализацию общеобразовательной функции математики. Этот курс имеет предельно ясно выраженный гуманитарный характер, предназначен для, по Ломоносову, приведения "ума в порядок", для компенсации неизбежных издержек обучения математике в основной школе, вытекающего из разнонаправленности векторов двух генеральных функций обучения математике на этом этапе, для коррекции искаженных представлений и учащихся, и общества в целом о сущности математики, как о науке, далекой от общей культуры и повседневной жизни, занятой исключительно действиями с дробями, формулами сокращенного умножения, квадратными уравнениями, текстовыми задачами псевдожизненного содержания и километрами решений уравнений и неравенств.

Обсуждение этого проекта показало, однако, что - при всех имеющихся недостатках и недоработках этого проекта, безусловно, признаваемых его авторами, - педагогическое и математическое сообщество в целом еще не готово к восприятию соответствующей точки зрения на роль математики в образовании каждого отдельного учащегося, и в общем плане - на возможность и целесообразность личностной ориентации обучения математике, особого внимание к гуманитарной ориентации обучения.

Коллективом авторов проекта стандарта сконструирован также и иной, вполне традиционный вариант общеобразовательного курса, отражающий распространенные, к сожалению, общие представления, хотя далеко не всегда явно высказываемые, что курс математики для тех, кому она не нужна в будущем, для тех, кого почему-то называют гуманитариями, должен представлять собой адаптированный вариант "нормального", профильного курса - в угоду тем "неспособным" или "ленивым", или не понимающим величия математики, тем, кого с математическим снобизмом называют гуманитариями.

Именно по этим соображениям этот вариант курса, хотя и к сожалению, не был опубликован - он заведомо вызвал бы меньшую критику со стороны общественности, и именно в этом направлении идет в настоящее время "переработку" общеобразовательного курса в базовый. Судя по процессу этой переработки, можно прогнозировать, что он действительно будет базовым - для будущих студентов вузов, где математика играет вспомогательную роль и изучается в весьма ограниченном объеме, - сельскохозяйственной академии или рядового технического вуза.

Однако не решенный в КПО вопрос, зачем нужен такого рода базовый курс, не слишком осмысленный на концептуальном уровне, будущим дворникам, контролерам метро, налоговым инспекторам и полицейским, пограничникам, художникам, балеринам, бухгалтерам, филологам, "обычным" экономистам и юристам и многим другим остается открытым, и авторы уверены, что его решение неизбежно будет найдено именно в плоскости гуманитарной ориентации обучения математике как предмету общего образования, в рамках образования с помощью математики. Повышение общей интеллектуальной культуры общества является столь же важной социальной задачей, что и формирование корпуса научно-технических кадров, в особенности в настоящее время, в условиях глобального изменения характера общества - индустриального на постиндустриальное, информационного.

---

1. Для различения этих функций, точнее – для акцентирования первой из этих функций – в дидактике математики существует по-французски изящная формула "Pas l'education мathematique mais l'education мathematique, или, на наш взгляд, не менее изящно, хотя и более искусственно по-русски "Не обучение математике, но обучение математикой" [Мое интервью в "Школьном образовании обозрении?)"]

Поделитесь своими впечатлениями о статье прямо сейчас в форуме или по e-mail

---
Для ссылок:
Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Седова Е.А., Профилированная школа в концепции школьного математического образования // Интернет-журнал "Эйдос". - 2003. - 15 апреля. http://www.eidos.ru/journal/2003/0415-02.htm. - В надзаг: Центр дистанционного образования "Эйдос", e-mail: [email protected].

Модернизация школьного математического образования (обзор печатных материалов)

Представила: О.Н. Скрынникова, зав. УМК математики ООИПКРО Дата: 24.02.05 В настоящее время на страницах периодической печати обсуждается вопрос о модернизации школьного образования, в т.ч. математического.Актуальные проблемы модернизации освещаются в следующих статьях: 1. Баранова Е.В., Зайкин М.И. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью //Математика в школе. – 2004. - №2 2. Глазков Ю.А., Мельникова НБ., Рязановский А.Р. Задания ЕГЭ по геометрии //Математика в школе. – 2004. - №3 3. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Седова Е.А. Профилированная школа в концепции школьного математического образования //Профильная школа. – 2004. - №1 4. Звавич Л.И. Элективные курсы образовательной области «Математика» //Профильная школа. – 2004. - №5 5. Каплунович И. Об одном подходе к гуманитаризации обучения математике //Математика. – 2004. - №25-26 6. Когаловский С.Р. Роль комбинаторных задач в обучении математике //Математика в школе. – 2004. - №7 7. Колягин Ю.В. Традиции и новации в содержании и методах обучения математике //Математика. – 2004. - №21 8. Макарычев Ю.Н, Миндюк НГ. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры //Математика в школе. – 2004. - №7 9. Розов Н Гуманитарная математика //Математика. – 2004. - №21 10. Селютин В.Д. Компоненты методической готовности учителя к обучению детей стохастике //Школьные технологии. – 2004. - №2 11. Семенов А.В., Юрченко Е. Рекомендации школьникам, сдающим ЕГЭ по математике //Математика. – 2004. - №19 12. Смирнова И., Смирнов В. Профильное обучение геометрии: традиции и современность //Математика. – 2004. - №21 13. Шестаков С. Об аттестации выпускников основной (неполной) школы и новом сборнике экзаменационных материалов //Математика. – 2004. - №21. Рассмотрим содержание некоторых статей. Колягин Ю. Традиции и новации в содержании и методах обучения математике //Математика. – 2004. - №21. Автор высказывает свои сооб­ражения о том, как следует осуществлять модерни­зацию школьного математического образования. Любая модернизация обучения математике должна опираться на опыт работы отечественной школы в прошлом и настоящем; сохранять все пози­тивные традиции и достижения отечественной шко­лы, заимствовать из зарубежной школы лишь луч­шее и пригодное в наших условиях. Все предлагае­мые новации должны быть теоретически обоснованы и практически проверены (поначалу по принципу изюма в булочку). Обновление должно быть эволюци­онным, причем таким, чтобы учитель был убежден в необходимости и полезности намеченных изменений и был готов к их проведению. В том же должны быть убеждены и широкая научная и педагогическая об­щественность, родители школьников. Заранее долж­ны быть подготовлены и широко обсуждены роль и место математики в учебном плане школы, учебные программы и рекомендуемые учебно-методические пособия. Математика, наряду с русским языком и лите­ратурой, должна оставаться приоритетным учебным предметом основной общеобразовательной школы. Она должна быть обеспечена должным числом учебных часов в неделю, необходимым и достаточным для ос­новательной базовой математической подготовки. Это означает, что разгрузка школьников может осуществ­ляться за счет устранения многопредметности, осво­бождения программы от второстепенного учебного материала, за счет совершенствования методики пре­подавания, в том числе и за счет широкого использо­вания компьютерных технологий. Обучение математике в начальной школе при­звано сформировать у детей начальную математиче­скую грамотность: знание начал курса арифметики, необходимые вычислительные навыки, умение проводить простейшие рассуждения в ходе решения тек­стовых задач, первичные навыки математической речи и письма. Тем самым начальная школа должна обес­печить подготовку детей к успешному изучению сис­тематических курсов математики. Обучение математике в основной школе долж­но оставаться фундаментальным, создающим равные условия всем школьникам для продолжения образо­вания в старшем звене средней школы, независимо от избранного профиля. Это означает, что школьные курсы арифметики, алгебры и геометрии должны ос­таваться самостоятельными, систематическими, кон­кретно-дедуктивными и взаимосвязанными (по гори­зонтали и вертикали). Наряду с формированием сис­темы математических знаний должно осуществлять­ся развитие у всех школьников логического мышле­ния, пространственного воображения и интуиции. Старшая профильная школа должна иметь сле­дующие основные профили: общеобразовательный (для тех школьников, которые не определили своих инте­ресов), гуманитарный, естественно-технический, экономический и физико-математический. Каждый из этих профилей должен быть обеспечен своей про­граммой и своими учебниками математики. Вместе с тем математика в профильной школе должна иметь устойчивое ядро, инвариантное по отношению к про­филю и позволяющее каждому школьнику перейти с одного профиля на другой при минимальной предва­рительной подготовке. Это означает, что курс матема­тики в профильных классах должен иметь достаточ­ное число учебных модулей, в которых представлены те или иные темы, рекомендуемые для изучения в классах данного профиля или по выбору. Новые разделы школьного курса математики (элементы теории множеств и математической логи­ки, начала комбинаторики и теории вероятностей, элементы математической статистики) в основной школе должны вводиться пропедевтически, постепен­но и может быть неявно, через задачи и упражнения, получая обобщение частичное в конце года, а итого­вое — к концу обучения в основной школе. Система­тическое их изучение должно быть отнесено к про­фильной школе. При этом следует определиться, за счет сокращения какого программного материала воз­можно изучение этих новых разделов. В частности, не следует ли отказаться в средней школе от изуче­ния начал математического анализа, предоставив та­кое изучение в вузе? Розов Н. Гуманитарная математика //Математика. – 2004. - №21 Давно уже пора серьезно и обстоятельно обсудить проблему так называемой «гуманитарной математи­ки» (термин употребляется исключительно для крат­кости), то есть поговорить о целях, содержании и путях реализации курса математики для школьни­ков, проявивших стойкий интерес к гуманитарным дисциплинам. В последнее время отмечается усиление интереса к гуманитарным дисциплинам. В частности, появи­лось значительное число профильных гуманитарных школ. И если мы, математики, хотим действительно всесторонне заниматься феноменом «воспитания та­лантливой молодежи», нам следует специально оза­ботиться программой, формами занятий и методикой преподнесения математического знания не только будущим математикам, «естественникам», инжене­рам, но и будущим «гуманитариям». Конечно, прежде всего полезно ответить на вопрос: а надо ли вообще включать математику в число обяза­тельных предметов школ гуманитарного профиля? Широко распространено (особенно среди матема­тиков) мнение, что математика и только математика может воспитать в школьнике культуру логического мышления. Нельзя отрицать, что изучение матема­тики «ум в порядок приводит» (М.В. Ломоносов), но не следует и преувеличивать значение математики, полагая, что она — единственный и самый эффектив­ный путь к цели. К сожалению, педагогическая наука и сами мате­матики практически почти не содействуют созданию стройной и действенной системы логического разви­тия молодого ума. А тренировки такого рода, проду­манные и, главное, привлекательные, крайне необхо­димые. Но при этом обязательно надо учитывать специфику гуманитарного мышления: примат ассо­циативного над формально логическим, сильную эмо­циональную окрашенность, приоритет конкретного над абстрактным, особенности интересов и внимания и т.д. Математика является не просто областью знаний и универсальным инструментом, все шире проника­ющим и в гуманитарные разделы науки, но прежде всего неотъемлемой частью цивилизации, существенным элементом общей культуры, языком научного восприятия мира. До последнего времени преподавание математики в школе, с точки зрения гуманитария, страдало су­щественными изъянами. Действовала единая програм­ма предмета «Математика» — независимо от способ­ностей и желаний учащихся, от их дальнейших пла­нов (получить рабочую профессию, инженерное или гуманитарное образование и т.п.). Такой подход рез­ко контрастирует с современными принципами де­мократизации школы, с активно развиваемой сегод­ня концепцией гуманизации образования, ставящей в центр образовательного процесса личность учени­ка, его интересы и его склонности. Подавляющее большинство вариантов программ по математике для школ и классов гуманитарного профи­ля представляет собой не учитывающий никакой «гу­манитарной специфики» куцый и формальный слепок с «общеобразовательной» программы, получающийся простым урезанием объема (и часов). Легко убедиться, что учебники для школьников-гуманитариев в основ­ном создавались из уже имевшихся учебников (для бу­дущих инженеров или «естественников») с помощью ножниц и путем разбавления текста художественными фрагментами, как-то касающимися математики, поверх­ностными историческими экскурсами и беглыми био­графическими сведениями о некоторых ученых-мате­матиках (в основном, древнего времени). Иначе говоря, незыблемым остается общий посту­лат: гуманитарии в школе должны изучать всё ту же «классическую элементарную математику» от Евк­лида до Ньютона — но, возможно, с меньшей степе­нью подробности и с меньшей отработкой деталей до­казательств и технического аппарата. Между тем гу­манизация образования, требующая максимально вни­мательно учитывать объективные возможности и субъективные интересы учащегося, предполагает вне­дрение дифференцированного обучения, создание многообразия программ и учебников, специально ори­ентированных на вполне определенный круг обучае­мых. Основная идея состоит в том, что курс «гумани­тарная математика» призван знакомить школьников-гуманитариев исключительно с фундаментальными положениями математики, имеющими общекультурную ценность и вошедшими в сокровищницу дости­жений человеческой мысли, предлагать доступное, «нетехническое», изложение на приемлемом языке — без формалистики цепочек преобразований и хитро­сплетений абстрактных умозаключений. Курс необходимо максимально тесно увязать с общекультурными ценностями и общефилософскими концепциями, с событиями истории, с языками, ис­кусством и литературой. Он призван помочь пони­мать действие математических законов в реальном окружающем нас мире, применять их для научного объяснения явлений. Особое внимание предлагается уделить правильному пониманию и грамотному упо­треблению основных терминов. Чрезвычайно важен и вопрос о создании специ­альной методики преподавания этого предмета. Должны ли мы навязывать формальные, скучно-сухие, абстрактные рассуждения учащимся гуманитарного склада ума? Думается, что придется осознать необходимость уважать и учитывать психологические особенности гуманитариев. Для этого надо, изначально отказавшись от формальных доказательств и обучения технике решения задач, разработать качественно новый наглядно-описательный способ объяснения и живой стиль изложения фундаментальных математических фактов, придумать принципиально иные приемы представления материала, предложить гибкие формы контроля его усвоения. Шестаков С. Об аттестации выпускников основной (неполной) средней школы и новом сборнике экзаменационных материалов //Математика. – 2004. - №21. Обращаясь к концептуальным и методологическим основаниям построения системы аттестационных за­дач (то есть, по сути, аттестации вообще), нельзя не отметить, что в ряду школьных дисциплин матема­тика стоит особняком. Изучение математики предпо­лагает не только запоминание и воспроизведение, но и узнавание («это выражение представляет собой раз­ность квадратов двух функций»), и понимание («здесь нужно применить именно эту формулу»), и анализ («если правая часть этого уравнения отрицательна, то уравнение не имеет решений»), и рефлексию («это неравенство можно решать несколькими способами, воспользуемся самым коротким»). Даже выполнение скучных и рутинных преобразований опосредованно способствует выработке таких качеств, как собран­ность и систематичность. Математика учит строить и оптимизировать деятельность, вырабатывать и при­нимать решения, проверять действия, исправлять ошибки, различать аргументированные и бездоказа­тельные утверждения, а значит, видеть манипуляцию и хотя бы отчасти противостоять ей. Таким образом, именно на уроках математики формируются универсальные (общие) умения и навыки, являющиеся основой существования человека в социуме. Представляется разумным, что эта важ­нейшая функция математического образования долж­на повлиять и на формулировки части аттестацион­ных задач в том смысле, чтобы результаты их реше­ния позволяли не только измерить уровень матема­тической подготовки, но и сделать вывод об овладе­нии теми или иными универсальными (общими) уме­ниями и навыками. Наличие таких заданий (как и заданий, формулировки которых отражают реалии времени) в корпусе задач-измерителей позволит не­посредственно влиять не только на уровень матема­тической подготовки школьников, но и на уровень их общего развития. К числу таких заданий можно, в частности, отнести задачи, связанные с выдвижением и проверкой гипотез; задачи, решение которых требует рассмотрения нескольких случаев или выбо­ра правильного ответа посредством последовательно­го исключения неправильных, задачи, связанные с чтением и анализом графиков реальных или близких к реальным зависимостей и др. Такой подход при­зван способствовать возвращению математике ее важ­нейшей образовательной функции, заключающейся в развитии универсальных (общих) умений, приме­нимых в различных областях знания и сферах дея­тельности. Приведенные выше основания явились своего рода фундаментом, на котором построен новый сборник для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной (неполной) средней школы (авторы: С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич), кото­рый предназначен для учащихся 7-9-х классов об­щеобразовательных школ. Он может быть использо­ван в учебном процессе, для организации итогового повторения курсов алгебры и геометрии 7-9-х клас­сов, подготовки к итоговой аттестации выпускников основной школы и проведения аттестации. В сборнике девять глав: «Числовые выражения», «Буквенные выражения», «Уравнения», «Неравен­ства», «Системы уравнений», «Системы неравенств», «Функции и графики», «Текстовые задачи», «Про­грессии». В первых восьми главах по три параграфа, в последней — один параграф. В качестве приложе­ний в сборник включены главы «Задачи по теории вероятностей и статистике» (приложение 1) и «Зада­чи по геометрии» (приложение 2), а также пример­ные экзаменационные работы по алгебре (приложе­ние 3). Задачи по теории вероятностей и статистике и задачи по геометрии не предназначены для включе­ния в варианты экзаменационных работ в настоящее время. Задания дифференцированы по уровням А, В, С и D в порядке возрастания сложности. В каждом пара­графе 80 задач (сгруппированных по две): 20 задач уровня А, 20 задач уровня В, 20 задач уровня С, 20 задач уровня D. Исключение составляет приложе­ние 2 — глава «Задачи по геометрии», в параграфах которой содержится по 30 задач каждого уровня (120 за­дач в параграфе). Наличие этой главы в сборнике при­дает ему определенную универсальность как единому сборнику экзаменационных материалов по математике для выпускников основной школы и позволяет ис­пользовать его, в частности, для подготовки и прове­дения устного экзамена по геометрии. Селютин В.Д. Компоненты методической готовности учителя к обучению детей стохастике //Школьные технологии.-2004.-№2. Идея введения в школьную математику вероятностно-статистических подходов к анализу явлений повседневной жизни весьма привлекательна для наших педагогов. С другой стороны, большинство из них слабо представляет себе содержательно-методические основы обучения стохастике в школе; по этой причине многие с настороженностью и недоверием относятся к этому нововведению. Изучение школьниками закономерностей случайных явлений требует от учителя владения специфической методикой, развивающей особый тип мышления и формирующей особые, недетерминированные представления. В связи с этим остро встают проблемы методической готовности учителей к успешной реализации вероятностно-статистического содержания в школьном курсе математики. Большинство наших учителей, закончивших в различные годы математические отделения педагогических институтов и университетов, изучали в своё время сравнительно небольшой по объёму курс теории вероятностей и математической статистики, который позволил им познакомиться с математическими моделями случайных явлений. Изучение же методики математики всегда оставляло вне поля зрения особенности формирования вероятностно-статистических представлений школьников, так как такие вопросы и до сих пор отсутствуют в вузовских учебных программах. Несмотря на то, что часть учителей путём самообразования поддерживает определённый уровень теоретических знаний и навыков решения вероятностных задач, они всё равно испытывают большие трудности, когда сталкиваются с практической необходимостью обучения школьников. Специфика науки о случайном лишний раз подтверждает, что глубокая математическая подготовка — необходимое, но далеко не достаточное условие достижения высокого уровня методической подготовки учителя. Выделяются следующие компоненты методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: 1. Целевой, состоящий в знании целей обучения школьников элементам науки о случайном и итоговых требований к стохастической подготовке. 2. Содержательно-математический, обеспечивающий наличие системы теоретических вероятностно-статистических знаний, лежащих в основе школьной стохастики. 3. Алгоритмический, обеспечивающий прочные вычислительные навыки и освоение алгоритмов, используемых при решении стохастических задач«школьного типа». 4. Прикладной, направленный на установление тесной генетической связи вероятностных моделей с вещественным миром, организацию процессов построения и истолкования моделей как ведущих форм деятельности учащихся. 5. Вероятностно-прогностический, связанный с установлением статистических закономерностей. 6. Логико-вероятностный, отражающий специфику стохастических рассуждений и умозаключений, особенности стохастической методологии. 7. Эвристический, нацеленный на использование созидательных возможностей стохастических форм математической деятельности школьников как последовательности самостоятельных «открытий». 8. Экспериментально-исследовательский, связанный с пониманием сущности случайного эксперимента и статистического исследования, их составных частей и функций в процессе формирования и развития статистических представлений учащихся. 9. Имитационный, направленный на открытие и обоснование аналогий, изоморфизмов, анализ взаимоотношений между разными вероятностными моделями одной и той же ситуации. 10. Междисциплинарный, состоящий в установлении и реализации межпредметных связей, в использовании возможностей стохастической методологии в качестве новой формы взаимодействия между школьными дисциплинами. 11. Внутрипредметный, выражающий глубокое понимание интегрирующей роли стохастики в обучении математике, использование её связующих возможностей в укреплении различных содержательно-методических линий. 12. Дифференцированно-оценочный, отражающий специфику дифференциации обучения элементам стохастики, особые формы контроля и оценок умений и навыков учеников. 13. Воспитательный, направленный на использование воспитательного потенциала стохастики. 14. Организационно-деятельностный, обеспечивающий эффективность организационных средств формирования статистических представлений учащихся, выполнение учителем роли организатора их самостоятельной познавательной деятельности. Смирнова И., Смирнов В. Профильное обучение геометрии: традиции и современность //Математика.-2004.-№21.-С.25-29 Данная статья написана с целью привлечения внимания к вопросам преподавания математики и, в частности, геометрии в условиях профильного обучения. Тема эта весьма актуальна и своевременна. Выбор профиля обучения зависит в большой степени от выбора будущей специальности, от того, какое место будет занимать в ней, в частности, математика. Среди специализированных профильных классов наиболее часто встречаются математические, физико-математические, технические, гуманитарные (среди которых исторические, филологические, философские), естественно-биологические, химические, географические, юридические, экономические и др. Для профильных классов должны создаваться специальные курсы математики, в частности геометрии. Главным вопросом при этом является вопрос о том, каким должно быть преподавание математики в классах с различной профильной направленностью? Что общего и чем отличается преподавание геометрии в этих классах? Хорошо известно, что математика (и, в частности, геометрия) является объектом общей культуры человека. Она в равной степени нужна художнику и математику. Это связано с тем, что в равной степени необходимо развивать рациональные и иррациональные психологические функции индивида. Мы исходим из того, что геометрия — это элемент общей культуры человека. Давно и хорошо известно, что геометрию нужно изучать не для того, чтобы использовать ее в быту. Еще Николай Иванович Лобачевский, который посвятил геометрии всю свою жизнь, говорил, что именно геометрия формирует определенный стиль мышления, культуру мышления. Именно геометрия отвечает за развитие пространственного воображения, пространственных представлений, которые нужны, чтобы научиться правильно ориентироваться в окружающем нас трехмерном мире, понять, как он устроен. Сказанное положено в основу разработанного авторами учебно-методического комплекта по геометрии. В него входят следующие учебники, имеющие гриф Министерства образования РФ и входящие в федеральный перечень учебной литературы: 1. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2004. 2. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина,2003. 3. Геометрия: Учебник для 10-11 классов гуманитарного профиля. — М.: Мнемозина, 2004. Эти учебники составляют единую геометрическую линию. Они, с одной стороны, сохраняют традиции отечественного геометрического образования, а с другой — реализуют современные дидактические принципы, связанные с индивидуализацией и дифференциацией обучения. В курсе геометрии для гуманитарных классов большое внимание уделяется историческим аспектам, философским и мировоззренческим вопросам. Учащимся предлагаются исторические сведения о Н.И. Лобачевском, центральном проектировании — перспективе, Л. Эйлере, правильных многогранниках — телах Платона, полуправильных многогранниках — телах Архимеда, конических сечениях, объеме пирамиды, Р. Декарте и др. Большое значение придается наглядности, которая является одним из дидактических принципов обучения. Включение в курс геометрии разнообразного материала, учитывающего интересы каждого школьника, способствует повышению интереса и желания учащихся заниматься геометрией. Опираясь на этот интерес и желание, можно преодолеть и известные трудности обучения. Для работы по данным учебникам предлагается современное методическое обеспечение, в которое входят следующие пособия: Геометрия. Методические рекомендации для учителя, 7-9. — М.: Мнемозина, 2004. Дидактические материалы по геометрии для 10-11 классов. — М.: Мнемозина, 2003. Геометрия. Методические рекомендации для учителя, 10-11 классы. — М.: Мнемозина, 2003. Нестандартные и исследовательские задачи по геометрии. 7-11 классы. — М.: Мнемозина, 2004. Пед.диагностика. – 2003. - №1 В статье приводятся результаты международного исследования PISA-2000 по исследованию математической грамотности учащихся. Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком. В проведенном исследовании было принято следующее определение понятия: «математическая грамотность» — способность человека определять и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и ис­пользовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и буду­щем потребности, присущие ориентированному на созидание мысля­щему гражданину. Содержание этого понятия уточняется следующим образом. Под математической грамотностью понимается способность: · распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; · формулировать эти проблемы на языке математики; · решать эти проблемы, используя математические знания и методы; · анализировать использованные методы решения; · интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы; · формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы. Использование термина «грамотность» позволяет показать, что изучение состояния математических знаний и умений, обычно опреде­ляемых в школьной программе, не было первоочередной задачей дан­ного исследования. Основное внимание уделяется проверке способно­стей школьников использовать математические знания в разнообразных ситуациях, требующих для своего решения различных подходов, размышлений и интуиции. Очевидно, что для решения поставленных проблем необходимо иметь значительный объем математических зна­ний и умений, которые обычно получают в школе. В исследовании не ставится цель проверить каждое из выделенных предметных знаний и умений в отдельности. В большинстве ситуаций требуется использо­вать знания и умения из разных тем и разделов не только курса матема­тики, но и других школьных предметов, например, физики, биологии, химии. По мнению разработчиков исследования, одним из аспектов, характеризующих математическую грамотность, является «математическая компетентность» — наиболее общие математические способности и умения, включающие математическое мышление, письменную и устную математическую аргументацию, постановку и решение проблемы, математическое моделирование, использование математического языка, современных технических средств. Выделены три иерархических уровня математической компетентности. Первый уровень включает воспроизведение математических фактов, методов и выполнение вычислений; второй уровень – установление связей и интеграцию материала из различных математических тем, необходимых для решения поставленной задачи; третий уровень (самый высокий) – математические размышления, требующие обобщения и интуиции. Нашим подросткам явно мешает отсутствие опыта работы с тес­товыми заданиями, в которых достаточно указать только верный ответ и не требуется приводить решение. В некоторых случаях ответ неслож­но было получить с помощью метода «проб и ошибок», который в на­шей школе почти не используется, но иногда оказывается весьма эф­фективным в тех случаях, когда ребята не знают соответствующего ма­тематического способа решения поставленной проблемы. В некоторых заданиях от подростков требовалось объяснить по­лученный ответ. При этом не предъявлялось очень высоких требований к математической строгости этих объяснений. Однако наши школьни­ки, приученные достаточно строго обосновывать свои решения, пред­почитали пропускать такие вопросы, если не могли дать строгого объ­яснения. Формулировка некоторых заданий значительно отличается от формулировок большинства учебных заданий, типичных для наших действующих учебников. Именно в них достаточно многословно опи­сывается некоторая близкая к реальной ситуация, которая может включать факты и данные, не безусловно необходимые для решения проблемы. Не удивительно, что значительная часть школьников за­труднилась составить математическую модель подобных ситуаций. В проведенном исследовании несложно выделить знания и уме­ния, которые на международном уровне считаются необходимыми для математически грамотного современного человека. К ним относятся: пространственные представления; пространственное воображение; свойства пространственных фигур; умение читать и интерпретировать количественную информацию, представленную в различной форме (таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей), характерную для средств массовой информации; знаковые и числовые последова­тельности; определение периметра и площадей нестандартных фигур; действия с процентами; использование масштаба; использование ста­тистических показателей для характеристики различных реальных яв­лений и процессов; умение выполнять действия с различными едини­цами измерения (длины, массы, времени, скорости) и др. Необходимо также указать такое важнейшее общеучебное уме­ние, как умение внимательно прочитать некоторый связный текст, выделить в приведенной в нем информации только те факты и дан­ные, которые необходимы для получения ответа на поставленный во­прос. К сожалению, формированию этих практически ориентирован­ных знаний и умений в нашей школе не уделяется, должного внима­ния. Эти же знания и умения проверялись у учащихся 11 класса в рам­ках другого международного исследования (TIMSS) в 1995 году. Ре­зультаты наших выпускников старшей школы были подобны результатам, показанным 15-летними учениками в рамках исследования PISA-2000. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Седова Е.А. Профилированная школа в концепции школьного математического образования //Профильная школа. – 2004. - №1. Изучение основ математики в современных условиях становится все более существенным для общеобразовательной подготовки молодого поколения. Внимание к школьному математическому образованию усиливается во многих странах мира. Главный принцип концепции школьного математического образования состоит в осознании реального сосуществования в методической системе обучения математике двух генеральных функций школьного математического образования: образование с помощью математики и собственно математическое образование. Согласно разработанной концепции школь­ного математического образования, старшая школа предполагается полностью профилиро­ванной. Это означает, что каждый ученик учит­ся в одном из конкретных профилей, число ко­торых, как показывает уже сложившаяся прак­тика, может быть достаточно велико. С точки зрения обучения математике все сколь угодно разнообразные профили объединяются в три направления — в зависимости от роли, которую играет в них математика: общеобразовательное, общенаучное и математическое. Во всех трех направлениях курс математики опирается на общеобразовательный курс мате­матики. Эта позиция учитывает прежде всего необходимость предоставления ученику возмож­ности реализации своего потенциала в области математики, который, как известно, может про­явиться и на более поздней стадии обучения. Для общеобразовательного направления предназначен так называемый курс А, который строится в направлении вектора образовательной функции математики. Приоритет развиваю­щей функции обучения является в этом курсе практически абсолютным, хотя, безусловно, ин­теллектуальное развитие учащихся происходит на математическом материале, обеспечивая од­новременно с личностным развитием повышение общекультурного уровня учащихся и достиже­ние ими необходимого уровня функциональной грамотности. Другими словами, специфической особенностью этого курса является выраженная гуманитарная направленность, т.е. специальная ориентация на умственное развитие человека, на знакомство с математикой как с областью чело­веческой деятельности, на формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире. К примеру, результатом изучения тригоно­метрических, показательной и логарифмичес­ких функций должно быть не столько усвоение способов решения соответствующих уравнений и неравенств, сколько понимание взаимосвязей этих математических знаний с процессами, происходящими в реальном окружающем физи­ческом мире и человеческом обществе. Точно так же результатом изучения начал анализа может считаться не умение самостоятельно исследо­вать придуманные специально для этого функ­ции, а сформированное искреннее восхищение перед человеческим гением, перед мощью чело­веческой мысли. Курс А не ставит в качестве задачи обеспече­ние учащимся возможности продолжения обра­зования в высшем учебном заведении по специальности, связанной с математикой, и, в частно­сти, не обеспечивает подготовки учащихся к вступительным экзаменам по математике. Он предназначен для тех учащихся, которых ин­тересуют, например, языки, искусство, художе­ственное творчество, спорт или предметно-прак­тическая деятельность. Для общенаучного направления предлагается курс В, который целесообразно представить в двух вариантах: B1 и В2 - в соответствии с осо­бенностями процесса математизации в есте­ственно-научных и научно-гуманитарных обла­стях знаний. Сущностью математизации есте­ственных и гуманитарных наук является, безусловно, математическое моделирование. В естественных науках главную роль играют в настоящее время количественные описания реальных процессов и соответствующие количественные модели, для исследования которых необходимы, традиционные разделы математи­ки, наряду с началами математического анализа и элементами теории вероятностей и математи­ческой статистики. Иное дело — гуманитарные науки. В них наи­большее значение имеют структурные модели, построение и исследование которых требует привлечения разделов математики, более совре­менных и весьма далеких от нынешнего школьного курса математики, и прежде всего дискрет­ной математики (достаточно упомянуть постро­ение грамматических моделей в лингвистике, со­здание информационных систем в приложениях различных гуманитарных наук). В качестве альтернативы создания двух от­дельных курсов математики общенаучного на­правления концепция предусматривает и суще­ствование одного курса, обеспеченного достаточ­ным числом дополнительных модулей, которые могут учесть специфику не только блока, но и конкретного профиля обучения. Дополнитель­ные модули могут, естественно, создаваться и использоваться и в других направлениях, а так­же в рамках основной школы. Для математического направления предназначен курс С, идет ли речь о собственно ма­тематическом, физико-математическом или «информатическом» профиле обучения. Соот­ветствующий курс математики должен обеспечивать учащимся не только возможность поступления в любое высшее учебное заведение по специальности, требующей высокого уровня владения математикой, но и создать условия для успешного обучения в соответствующем вузе. Прообразом обучения математике в математи­ческом направлении является система углубленного изучения, существующая в нашей стране уже несколько десятилетий и доказавшая свою эффективность в создании, сохранении и повы­шении высокого уровня отечественного матема­тического образования и математической науки, общепризнанного во всем мире.

назад

Инновационные процессы в преподавании математики

Авторы:
Антонова Е.И., методист кабинета математики Владимирского областного института усовершенствования учителей.
Фуфыкин В. Н., заместитель директора Владимирского областного института усовершенствования учителей по учебно-методической работе.

Говоря об инновационных процессах в преподавании математики, прежде всего, надо остановиться на изменениях в целях и задачах современной школы.

Как указывается в "Концепции модернизации Российского образования на период до 2010 года", модернизация общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей. "Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевые компетентности, определяющие современное качество образования". В концепции подчеркивается также, что важнейшими задачами воспитания является "формирование у школьников гражданской ответственности и правового самосознания, духовности и культуры, инициативности, самостоятельности, толерантности, способности к успешной социализации в обществе и активной адаптации на рынке труда".

Концепция модернизации образования ориентирована на реализацию компетентностного подхода в образовании, на формирование ключевых (базовых, универсальных) компетентностей, т.е. готовности обучающихся использовать усвоенные знания, учебные умения и навыки, а также способы деятельности в жизни для решения практических и теоретических задач.

В мировой образовательной практике представлена преимущественно следующая структура (набор) ключевых компетенций:
компетенция в сфере познавательной деятельности, основанная на усвоении способов самостоятельного приобретения знаний из различных источников информации, в том числе внешкольных;
компетенция в сфере общественной деятельности (выполнение ролей гражданина, избирателя, члена социальной группы, коллектива);
компетенция в сфере трудовой деятельности (в том числе умение анализировать и использовать ситуацию на рынке труда, оценивать и совершенствовать свои профессиональные возможности, навыки самоорганизации и т.д.);
компетенция в бытовой сфере (включая аспекты семейной жизни, сохранения и укрепления здоровья и т.д.);
компетенция в сфере культурной деятельности (включая набор путей и способов использования свободного времени, культурно и духовно обогащающих личность).

Цели математического образования

Основными целями математического образования являются:
интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе;
овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности;
формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

Цели обучения математике конкретизируются в четырех группах компетентностей
(компетентности приведены выборочно из проекта стандарта общего образования)

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы предполагает, что он:
- умеет использовать математические знания, арифметический, алгебраический и геометрический аппарат для описания и решения проблем реальной жизни;
- умеет грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции на математическом языке;
- умеет пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев и эксперимента.
Социально - личностная компетентность:
- владеет стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, строгостью;
- умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически обоснованные выводы, отличать доказанные утверждения от недоказанных, аргументировать суждения;
- умеет проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и понимать необходимость их проверки.
Общекультурная компетентность:
- понимает и умеет аргументировано объяснять значимость математики как неотъемлемой части общечеловеческой культуры, воздействовать на иные области культуры, на совершенствование человека как homo sapiens;
- имеет представление о различии требований, предъявляемым к доказательствам в различных областях науки и на практике, в математике, естественных и гуманитарных науках.
Предметно - мировоззренческая компетентность:
- имеет представление об аксиоматическом построении математической теории, о логическом статусе аксиом, определяемых и неопределяемых понятий, определений и теорем; о значении аксиоматики для других областей знаний и практики;
- владеет приемами построения и исследования математических моделей при решении прикладных задач и задач из смежных областей.

Цели обучения математике во многом обусловлены спецификой её предмета. С развитием математики меняется взгляд на её предмет. Известны следующие концепции: 1) Объектом математики являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира (Ф. Энгельс). 2) Предметом математики является структура (Н. Бурбаки). 3) Математика - наука, изучающая модели (В.И. Арнольд, Л.Д. Кудрявцев и др.) либо схемы моделей (М.М. Постников).

Концепция предмета обусловливает содержание школьного математического образования. Одной из составляющих концепции обновления математического образования является новое представление о предмете математики, оно будет обусловливать содержание очередного поколения школьных учебников. Его основу составят: 1) создание и разработка новых схем моделей или их вариантов; 2) создание моделей по известным схемам; 3) приложения уже разработанных схем к проблемам практики. Предметной реализацией этой основы явятся функции, уравнения, неравенства, величины, наиболее важные геометрические модели, доступные школьникам и имеющие большие содержательные возможности для приобщения их к творческой деятельности, элементы математического анализа, использование которых связано с практическими приложениями, элементы теории вероятностей и статистики, аксиоматического метода, в частности, его эвристическая функция.

Существуют разные точки зрения на содержание понятия образования. Одни авторы смысл образования видят в фиксации усвоения уровня культуры, другие рассматривают образование как процесс целенаправленного, педагогически организованного духовного, интеллектуального и физического развития человека, для третьих смысл образования заключается в обретении человеком своего образа и т.д. Из сказанного можно заключить, что образование - многогранное понятие, содержание которого, по-видимому, не только трудно, но и невозможно уточнить, ибо всякие уточнения "отсекают" многие важные его аспекты. Общее содержание, присущее различным лингвистическим толкованиям понятия образования, заключается в придании воспитаннику определённого образа (образа мыслей, чувств, действий, поступков). Основная сущность человека - стремление открывать новое и создавать его. Процесс становления человека - творца и составляет содержание образования. Формирование такой личности предполагает не только усвоение знаний и способов деятельности, но создание условий для развития творческого мышления и инициативы личности.

Цели обучения математике обусловлены гуманизацией и гуманитаризацией образования. Гуманизация образования предполагает "очеловечивание" знания, т.е. придание ему личностного смысла, учёт индивидуальных особенностей обучаемых. Термин "гуманитаризация образования" касается духовной культуры человека и соотносится с выражением не только объективированных рассуждений, но и самим ходом поиска, с исходными методологическими предпосылками, с "человеческим измерением" научного знания. Важные условия гуманизации математического образования - усиление мотивации и дифференциация обучения. Гуманитаризация образования предполагает вооружение школьников методами научного поиска, среди которых эвристические приёмы и методы научного познания.

Математика - гуманитарный предмет, который позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности и "ум в порядок приводит". Реальные процессы математика описывает на особом математическом языке в виде математических моделей. Поэтому математический язык и математическая модель - ключевые слова в постепенном развертывании курса, идейный стержень курса. При наличии идейного стержня математика представляется перед учащимися не как набор разрозненных фактов, который учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная, развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина общекультурного характера

Гуманитарная направленность расширяет содержание математического образования. Школьное математическое образование складывается из следующих содержательных компонентов: арифметика, алгебра, геометрия, начала математического анализа, элементы статистики и теории вероятности. Такая номенклатура учитывает опыт обучения математике в нашей стране, а также учитывает современные тенденции современной и зарубежной школы. Первые четыре компонента составляют традиционный для школы материал. Последний блок является новым для нашей школы, имеющим большое общекультурное и практическое значение для жизни человека в современном обществе, широко представленным в мировом образовании. В связи с этим в содержании образования выделяется методологический блок "Математический язык и логика". В программах этот блок должен разворачиваться в содержательно - методическую линию, пронизывающую все основные блоки, и служить цели воспитания логической грамотности, культуры мышления и речи, критичности ума, необходимых каждому члены современного общества.

Если ранее в содержание образования включали систему предметных знаний и способы деятельности, то теперь предполагается приобщение школьника к творческой деятельности. Но последнее возможно осуществить только через включение в содержание образования различных эвристик и создание специальных условий для творчества ученика. Все это позволяет отнести проблему эвристик (классификация эвристик, формы включения их в содержание, соотношение логической и эвристической составляющих в обучении, обучение эвристикам и т.п.) к числу важных проблем методики обучения математике.

Концепция математического образования в 12-летней школе в своих основных принципах наследует существующую концепцию для 11-летней школы, выделяя в качестве центрального тезиса уровневую и профильную дифференциацию обучения как наиболее соответствующую современным идеям российской и мировой педагогики и психологии, требующим гармонического сочетания в обучении интересов личности и общества - идеям личности ориентированного обучения.

Главный принцип концепции математического образования в 12-летней школе, направленный на осуществление этих идей, состоит в реальном осуществлении в методической системе обучения математике двух генеральных функций школьного математического образования, определяемых глобальным совпадением и локальными различиями общественных и личных интересов в математических знаниях и математической культуре:
1) образование с помощью математики;
2) собственно математическое образование.

В сложившейся методической системе школьного математического образования функция "собственно математического образования" является домини-рующей, что приводит к такому негативному результату, как сомнение в необходимости изучения математики, например, на старшей ступени школы. В то же время идеи личностно-ориентированного обучения требуют пересмотра значимости этих функций с учетом современной социальной ситуации.

Социальная значимость образования с помощью математики заключается в повышении средствами математики уровня интеллектуального развития человека для его полноценного функционирования в обществе, обеспечении функциональной грамотности каждого члена общества, что является необходимым условием повышения интеллектуального уровня общества в целом. В контексте образования с помощью математики образовательная область "Математика" выступает именно как предмет общего образования, ведущей целью которого является интеллектуальное воспитание, развитие мышления подрастающего человека, необходимое для свободной и безболезненной адаптации его к условиям жизни в современном обществе.

Личностно ориентированное образование - это не овладение учащимися знаниями, умениями и навыками и подготовка школьников к жизни, а прежде всего становление человека, обретение им себя, своего образа, неповторимой инди видуальности, духовности, творческого начала. Цель его - заложить в ребенке механизмы самореализации, саморазвития, саморегуляции и другие, необходимые для формирования самобытной личности, способной к продуктивному взаимодействию с людьми, природой, культурой и цивилизацией.

С помощью психолого-педагогической диагностики и медицинских показаний выявляются все особенности ученика, формулируются конкретные цели обучения и составляется индивидуальная программа обучения математике.

При формулировании конкретных целей необходимо учитывать общие цели обучения и общие цели обучения предмету - это результат обучения; личность ученика с его особенностями - это начальный этап обучения. Далее необходимо построить путь обучения, развития ученика средствами предмета математики от начального этапа к конечному результату, четко определяя иерархию целей.

Изменение целей образования привело не только к изменению всей методической системы, но и заставило пересмотреть взгляды на показатели результативности педагогического процесса.
Сегодня это:
Сохранение всех показателей здоровья учащихся.
Уровень и качество образования:
- достижение образовательных стандартов;
- повышенный уровень образования;
- овладение умениями учиться, учебно-познавательной деятельностью;
- сформированная способность переноса знаний, их практическая направленность;
- овладение учащимися ключевыми компетентностями.

Обновленные цели и содержание образования требуют обновления методов структурирования учебного материала. Становится все более востребованной концепция укрупнения дидактических единиц, концепция преемственности образования, а также поиск интегрированных методов, в частности способов интеграции алгебраических и геометрических методов в обучении математике. Актуальны и проблемы развития качеств личности учащегося, особенно таких, как познавательная самостоятельность, интерес и т.д. Ждут своего решения и проблемы диагностирования знаний, умений обучаемых.