Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть { an } является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 < an для всех n; 2. .
Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем
поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.
39.Определение сходимости в точке функционального ряда.
Сходимость
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Если ряд сходится, а расходится, то ряд называется сходящимся условно.
Признаки равномерной сходимости.
Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
1. Ряд сходится равномерно.
2.
Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость.
40.Степенные ряды.
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.
42. Радиус и интервал сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если — точка сходимости ряда (30.2), то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала Если — точка расходимости (30.2), то ряд расходится во всех точках интервалов Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R, R) ряд (30.2) сходится абсолютно, а на расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах — расходится
Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2), a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R= ). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).
Укажем способ определения радиуса сходимости ряда (30.2). Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членови применим к нему признак Даламбера:
Если то ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Обозначим
(30.4)
При ряд (30.2) расходится, так как общий член ряда не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходимости.
Пример: Найти радиус и интервал сходимости ряда
интервал абсолютной сходимости (- 3, 3). На концах интервала: при х = 3 имеем — гармонический расходящийся ряд,
при х= — знакочередующийся ряд, сходящийся условно.
Область сходимости данного ряда — промежуток [-3, 3)
Ряд (30.1) сводится к ряду (30.2) заменой переменной Если ряд имеет радиус сходимости R, то ряд (30.1) сходится абсолютно для т.е. на интервале
43.Признак Абсолютной сходимости ряда.
Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно.
Аналогично, если несобственный интеграл от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля .
44. Ряды Тейлора и Маклорена.
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
45. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
·
·
·
·
·
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.005 с)...
.
Тогда знакочередующиеся ряды 
и 
сходятся.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд 
называется абсолютно сходящимся, если ряд 
также сходится. Если ряд 
.
Решение.
Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем
поскольку 
. Следовательно, данный ряд сходится.
39.Определение сходимости в точке функционального ряда.
Сходимость
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность 
его частичных сумм сходится поточечно.
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность 
называется абсолютно сходящимся, если 
сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Если ряд 
сходится равномерно.
2. 
Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда 
. Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость.
40.Степенные ряды.
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.
42. Радиус и интервал сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если 
— точка сходимости ряда (30.2), то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала 
Если 
— точка расходимости (30.2), то ряд расходится во всех точках интервалов 
Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R, R) ряд (30.2) сходится абсолютно, а на 
расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах 
— расходится
Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2), a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R= 
). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).
Укажем способ определения радиуса сходимости ряда (30.2). Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членови применим к нему признак Даламбера: 
Если 
то ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Обозначим
(30.4)
При 
ряд (30.2) расходится, так как общий член ряда 
не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходимости.
Пример: Найти радиус и интервал сходимости ряда
интервал абсолютной сходимости (- 3, 3). На концах интервала: при х = 3 имеем 
— гармонический расходящийся ряд,
при х= 
— знакочередующийся ряд, сходящийся условно.
Область сходимости данного ряда — промежуток [-3, 3)
Ряд (30.1) сводится к ряду (30.2) заменой переменной 
Если ряд 
имеет радиус сходимости R, то ряд (30.1) сходится абсолютно для 
т.е. на интервале 
43.Признак Абсолютной сходимости ряда.
Сходящийся ряд 
называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей 
, иначе — сходящимся условно.
Аналогично, если несобственный интеграл 
от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля 
.
44. Ряды Тейлора и Маклорена.
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. 
, то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
· 
· 
· 
· 
