Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=f(х) имеет в точке х отличную от нуля производную

. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела

и бесконечно малой функции, можно записать

при или + .

Таким образом, приращение функции у представляет собой сумму

двух слагаемых ‚ (х) и , являющихся бесконечно малыми при

Поэтому первое слагаемое ‚ называют главной частью приращения функции

Дифференциалом функции –y= (х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (х)):

dy= (24.1)

Дифференциал dy называют также дифференцалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как = = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy= dx = т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx=

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy= (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.