Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

Отрезок [a,b] делится на частей:

…

…

…

…

, ,

2. Определение сеточной функции :

			…
			…

3. Аппроксимация уравнения:

Для каждой узловой точки заменяем функции и производные в уравнениях 6.12-6.13 конечноразностными аналогами:

т.е.

(6.14)

т.е.

Получаем ситему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных величин .

4. Решение СЛАУ. Система уравнений решается методом прогонки.

Пример 6.4. Решить краевую задачу методом конечных разностей с шагом :

Решение. Решение проводим в следующей последовательности:

1. Определение сетки:

| | | |

, - краевые точки, - внутренние точки.

2. Определение сеточной функции :

3. Аппроксимация уравнения:

при
при
при
при

Получим систему четырех линейных алгебраическихуравнений с четырьмя неизвестными , , и :

или

4. Решение системы методом прогонки.

Значения , , , записываем в виде таблицы.

				Таблица 6.1
			-5
	106,5	-197,4	93,5	0,8
		-197,2		0,8
	-10

Прямой ход прогонки. Определяем прогоночные коэффициенты и ().

, т.к.

Обратный ход прогонки. Вычисляем ().

Поскольку , то .

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

	1,2	1,3	1,4	1,5
	2,337581	2,605098	2,845925	3,045925