Определение параметров периодических движений и оценка положения равновесия по методу гармонической линеаризации в форме Гольдфарба А. С

Вспомним, что для статического НЭ коэффициенты гармонической линеаризации зависят от амплитуды входного сигнала (g (A), b (A)), а для динамического НЭ – от амплитуды и частоты (g (A,ω), b (A,ω)).

Рассмотрим метод Гольдфарба для статического НЭ.

Требуется определить значения амплитуды и частоты входного сигнала НЭ A ^*, ω^* (где входной сигнал x = A sinω t, A = A *, ω = ω *), при которых в замкнутой системе после снятия внешнего воздействия возникают автоколебания.

Автоколебания – незатухающие колебания с постоянной амплитудой.

Т.к. НЭ представляет собой статическую нелинейность, то он может быть описан ГЛПФНЭ.

Экскурс в линейные САУ: Найквист, при которой

По аналогии с линейными САУ для нелинейной САУ автоколебательный режим:

т.е. надо решать алгебраическое уравнение

где – уравнение гармонического баланса,

– отрицательная обратная характеристика НЭ (ООХНЭ).

В методе Гольдфарба уравнение гармонического баланса решается графически.

Если точек пересечения АФЧХ ЛЧ и ООХ НЭ нет, то нет и автоколебаний, если точек несколько, то какие-то автоколебания могут быть устойчивы, а какие-то – нет.

Нанесем на ООХ НЭ (∙) M ₁, M ₂, M ₃, M, N.

AM ₁ < AM < AM ₂ < AN < AM ₃.

Чтобы понять устойчива или неустойчива траектория, соответствующая (∙) M_i, i =1,2,3; заметим, что в уравнении гармонического баланса в отличие от линейного случая вместо «–1» пишется «», поэтому суждение об устойчивости траектории зависит от того охватывается или не охватывается соответствующая точка траектории кривой «» АФЧХ ЛЧ.

Если охватывается – неустойчивость, не охватывается – устойчивость.

Линейная САУ: . Нелинейная САУ:

Устойчивая траектория со временем стремится к началу координат, т.е. амплитуда ее колебаний уменьшается, колебания затухают.

M ₁ не охватывается – устойчивость, M ₂ охватывается – неустойчивость. Траектория, соответствующая M ₃ не охватывается => она устойчива и с ростом времени «наматывается» на предельный цикл (ПЦ) точки N снаружи. Пересечь ПЦ траектория не может, т.к. это означало бы, что два различных движения системы имеют в точке пересечения одинаковые скорость и положение, т.е. система имеет неоднозначное поведение, что в технике недопустимо.

Окончательно: ПЦ M неустойчив, т.к. траектории начинающиеся внутри него (M ₁) и вне его (M ₂) со временем удаляются. ПЦ N устойчив, т.к. траектории вне его (M ₃) и внутри него (M ₂) с ростом времени стремятся к нему. Т.е. автоколебательный режим M не существует, а N – реализуется, кроме того траектории, начинающиеся из M ₁ стремятся к началу координат, т.е. начало координат – установившееся положение равновесия.