Особенности поведения нелинейных систем

Нелинейные системы обладают рядом свойств, отличающих их от линейных систем.

Если для линейной системы существует понятие устойчивости или неустойчивости, то нелинейные системы могут характеризоваться устойчивостью или неустойчивостью в различных режимах (т.е. при различных входных воздействиях).

Нелинейная система может быть устойчива в малом и неустойчива в большом.

Нелинейные системы характеризуются наличием предельных циклов. Цикл определяет автоколебания в системе, т.е. колебания с конечной амплитудой и частотой. Исходя из сказанного, основной задачей является определение параметров предельных циклов и их характера (устойчивости или неустойчивости предельного цикла). Отличием нелинейной системы является зависимость периода колебаний от времени процесса (T↓, ω_колеб↑).

В настоящее время отсутствует единая теория нелинейных САУ. Исследование нелинейных САУ производится с помощью отдельных методов, каждый из которых решает конкретную задачу.

Особенности нелинейных систем

1) Неединственность положения равновесия

Линейная асимптотически устойчивая система после снятия возмущения стремится в единственное положение равновесия независимо от начальных условий. В нелинейной системе может быть несколько устойчивых состояний, например, в триггере – 2 устойчивых положения равновесия.

Может быть и бесчисленное множество положений равновесия. Это затрудняет исследование статической точности нелинейной системы.

Пример: У линейной САУ единственное положение равновесия – x =0.

Пример: У нелинейной системы .

2) Неоднозначность поведения

В отличие от линейной САУ, которая может быть либо устойчивой, либо неустойчивой, нелинейная САУ может быть устойчива в малом, но неустойчива в целом. В зависимости от начальных условий, амплитуды и частотного спектра входного воздействия реакция нелинейной системы может быть качественно различной.

Вульгарное пояснение

3) Неприменимость принципа суперпозиции

Для линейной САУ принцип суперпозиции выполняется:

L (управление + возмущение) = L (управление) + L (возмущение),

L (u ₁+ u ₂)= L (u ₁)+ L (u ₂), где L – линейная функция.

Для нелинейной САУ он невыполним:

Пример: Реакция линейной и нелинейной систем на скачкообразное воздействие различной величины различно.

	Линейная САУ	Нелинейная САУ
		y2 – автоколебания (колебания с постоянной амплитудой)

4) Наличие изолирующих предельных циклов

В линейной системе незатухающие колебания возможны только при наличии пары чисто мнимых корней. Амплитуда таких колебаний определяется начальными условиями.

В нелинейных системах даже при отсутствии внешних возмущений могут появиться незатухающие периодические автоколебания, амплитуда и частота которых не зависит от начальных данных. Автоколебания связаны с т.н. предельным циклом. Предельный цикл соответствует автоколебательному режиму.

Как известно, ПФ для нелинейной системы не существует, т.к. соотношение между входным и выходным сигналами зависит от самого сигнала, т.е. его амплитуды и частоты. Предельные циклы определяют, является ли система устойчивой или неустойчивой по начальным условиям, поэтому их и пытаются найти.

а) При | x (0)|< A ;

б) При | x (0)|> Б, автоколебания с амплитудой Б;

б) При | x (0)|> В, автоколебания с амплитудой В.