Метод гармонической линеаризации

Другие названия: метод описывающих функций, метод гармонического баланса.

Метод используется для вычисления параметров автоколебательных режимов, в методе рассматриваются только гармонические сигналы (синусно-косинусные).

В соответствии с подходом А.И. Лурье любая нелинейная система может быть представлена, как последовательно соединенные линейная часть и нелинейный элемент.

ЛЧ – линейная часть, НЭ – нелинейный элемент.

Предположим, что мы имеем статическую нелинейность y = F (x), где x = A sinω t. A –? ω –?

Основная задача, решаемая методом гармонической линеаризации, – нахождение параметров входного сигнала НЭ, а именно – его амплитуды (A) и частоты (ω), в случае, когда входной сигнал сначала подается на объект, а потом снимается (обнуляется). При этом колебания с постоянной амплитудой (автоколебания) могут возникать либо не возникать, что и требуется выяснить. Т.к. входной сигнал обнуляется, схема может быть преобразована к виду:

Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через НЭ на примере нелинейности типа ограничения по уровню.

Пример:

x = A sinω t, предположим, что A > a.

– приближение, где – основная гармоника (первая).

– разложение в тригонометрический ряд Фурье, где – гармоники высших порядков (высшие).

Дополнительной особенностью нелинейных систем является нелинейное искажение сигнала, вследствие чего синусоидальный входной сигнал преобразуется в сигнал, содержащий высшие гармоники.

Суть метода гармонической линеаризации в том, что рассматривается поведение нелинейной системы при прохождении через неё лишь первой основной гармоники. Высшими гармониками пренебрегают, т.к., во-первых, они имеют амплитуду, меньшую чем у первой гармоники, а, во-вторых, линейная часть является фильтром низких частот (ФНЧ), т.е. ослабляет высшие гармоники. Т.о. линеаризуем систему, отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости в тригонометрическом ряду.

Метод гармонической линеаризации основан на методе малого параметра. Он развит во многих работах по САУ Гольдфарба А.С. и Попова Е.П., поэтому в литературе часто указывается как метод Гольдфарба и Попова.