Основное утверждение модального синтеза

Матрица A-BL подобна матрице J тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица F и прямоугольная матрица такие, что выполняются равенства:

Здесь J - желаемая жорданова нормальная форма матрицы A-BL. F - матрица жордановых цепочек векторов матрицы A-BL. -вспомогательная матрица, обеспечивающая некоторые дополнительные возможности при синтезе.

Доказательство:

Необходимость следует из определения подобия матриц:

Умножим последнее равенство справа на F:

(A-BL)F = FJ,

AF-BLF=FJ,

Обозначим

Достаточность:

Из выполнения соотношений (1) и (2) должно следовать подобие матриц:

Т.к. =LF, то уравнение (1) имеет вид:

AF-FJ=BLF

Перегруппируем слагаемые, затем умножим справа на F^-1:

Таким образом, матрица (A-BL) подобна J.