Запись основных соотношений в векторном виде

Для проведения практических расчетов выражения (1) и (2) удобно представить в векторном виде. Рассмотрим только случай матрицы J простой структуры, т.е. имеющей различные собственные значения:

Где s_i – желаемые собственные значения замкнутой системы.

По определению матрицы F каждый столбец есть собственный вектор f_i, а у матрицы F^-1 каждая строка есть двойственный или левый собственный вектор:

, ,

Матрица состоит из столбцов , каждый из которых имеет размерность управления, т.е. m, а всего векторов n:

Запишем уравнение (1), (2) в векторном виде:

, i=1,2,…n,

После преобразования (1), (2) принимают следующий вид:

(3)

(4)

Это и есть запись основных соотношений в векторном виде

Для вычисления собственных векторов можно использовать соотношение, вытекающие из (3):

Поскольку , то выражение для вычисления f _i представим в виде:

(5)

Для использования этого выражения желаемые собственные значения замкнутой системы s _i не должны совпадать с собственными значениями (полюсами) разомкнутой системы.

Данное значение s _i определяет набор базисных векторов подпространства, в котором лежит собственный вектор f _i. Если Ф_i-матрица базисных векторов, соответствующих значению s _i, то она определяется из решения уравнения: . Тогда вспомогательный вектор : определяет координаты желаемого вектора f _i в базисном подпространстве, натянутом на столбцы Ф _i: f_i= Ф_i ^.

Степени свободы в задании s_i и f_i

Собственные значения s _i можно выбирать любыми исходя из желаемой динамики замкнутой системы. В выборе f _i остается m степеней свободы (m-размерность управления), определяемая координатами .

Фактически имеется не m, а (m-1) степеней свободы, так как длина вектора (а также и f _i) не имеет существенного значения (важно только направление вектора).

В случае скалярного управления, т.е. m=1 задание желаемых собственных значений s _i полностью определяет задание управления.