Наблюдатели полного порядка

Рассмотрим описание системы в стандартном виде:

В реальных системах r < n, т.е. число измеряемых координат меньше размерности. Обычно r - число датчиков и их всегда меньше числа координат состояния.

Для того чтобы реализовать закон управления в виде необходимо знать все координаты состояния. Чтобы знать недостающие координаты необходимо дополнительное устройство, их определяющее. Таким устройством является наблюдатель.

Наблюдатель вводится в систему для оценки переменных состояния по реально измеряемым координатам.

С точки зрения реализации наблюдатель - это математический объект, который описывается соответствующими дифференциальными уравнениями.

Обозначим - оценка вектора состояния . - это координаты наблюдателя, которые можно использовать. Таким образом, наблюдатель представляет модель системы.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

, если А и В такие же, как у исходной системы, то это есть модель исходной системы:

u y

Рис. 9.4 Схема объекта с моделью

Можно ли такую модель непосредственно использовать для получения оценок состояния? Рассмотрим ошибку: . Дифференциальное уравнение для ошибки получим вычитанием из уравнения модели уравнения системы:

Если начальная ошибка. - начальное состояние объекта, то . Из этого уравнения следует, что процесс изменения ошибок полностью определяется матрицей системы А. Это плохо, т.к. если система неустойчива (т.е. имеет собственные значения в правой полуплоскости) или собственные значения имеют малую отрицательную вещественную часть то и ошибка наблюдателя будет расходиться, либо меняться слишком медленно.

Вывод: Наблюдатель, представляющий модель системы, практически никогда не удается использовать из-за характера изменения ошибок наблюдения, полностью определяемого матрицей динамики системы А.

Модифицируем модель системы введя матрицу К, умноженную на разность :

.

Решением этого уравнения является:

.

Задавая матрицу наблюдения K можно получить различные процессы изменения ошибок наблюдения во времени.

Чтобы ошибка наблюдения стремилась к нулю необходимо соответствующим образом выбрать собственные значения матрицы , а именно: они должны иметь отрицательную вещественную часть; и соответственно насчитать матрицу наблюдателя К.

Матрицу К будем засчитывать по желаемым собственным значениям и векторам матрицы , и этот расчет аналогичен расчету матрицы обратной связи по вектору состояния.

Сравнение:

- модальный синтез, определяется L

Для наблюдателя рассчитывается матрица K.

Получим основные соотношения. Схема замкнутой системы с наблюдателем будет иметь вид:

Рис. 9.5 Схема замкнутой системы с наблюдателем