![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Поскольку производная функции
в свою очередь есть функция от х, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и вычислении производной.
Определение 1. Производная от производной функции называется производной 2 -го порядка или второй производной функции
. Производная от 2-ой производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д., производная от производной n -го порядка называется производной
- го порядка. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются:
или
.
Могут встречаться и другие обозначения производных высших порядков.
Производная называется также производной 1-го порядка.
Примеры производных порядка n:
.
Выясним механический смысл 2-ой производной. , как известно, есть скорость изменения функции
относительно аргумента х. Поэтому 2-я производная
, как производная от производной, есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение изменения функции
относительно аргумента х.
Вычислим производную 2-го порядка функции, заданной параметрически уравнениями
. Заметим, что
. Поступая так же, как при вычислении первой производной, получим
=
.
Таким образом,
.
Определим дифференциалы высших порядков. Заметим, что в формуле , т.е. от х не зависит,
− функция от х, значит, и
есть функция от х. Поэтому можно говорить о дифференциале от дифференциала
.
Определение 2. Дифференциал от дифференциала функции в некоторой точке называется дифференциалом 2- го порядка в этой точке и обозначается
. Дифференциал от дифференциала 2-го порядка называется дифференциалом 3- го порядка и обозначается
и т.д. Дифференциал от дифференциала (n -1)-го порядка называется дифференциалом n-го порядка и обозначается
.
Получим формулы для вычисления дифференциалов высших порядков функции , имеющей в точке х производные любого порядка. Имеем
,
,
.
Из последней формулы получаем, что , т.е. обозначение
можно рассматривать не только как символ, но и как дробь.
Сохраняется ли инвариантность формы дифференциалов высших порядков? Рассмотрим дифференциал 2-го порядка. Если х – функция, то
.
Если же х независимая переменная, то
.
Видим, что две последние формулы отличаются друг от друга слагаемым , т.е. уже для дифференциала 2-го порядка форма его изменяется при замене независимой переменной функцией.
Таким образом, дифференциалы высших порядков свойством инвариантности формы не обладают.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 211 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!