![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Гильом Франсуа де Лопиталь (1661-1704) – французский математик.
При вычислении пределов, как известно, приходится раскрывать неопределенности разных видов. В этом параграфе мы познакомимся с правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и
.
Теорема 1. Пусть функции и
непрерывны в точке
, дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности
точки
и
. Пусть, кроме того,
для всех
. Тогда, если существует
, то существует и
, причем
=
. (7.1)
Доказательство. Рассмотрим интервал − правую половину окрестности
. Пусть
. Заметим, что на отрезке
к функциям
и
можно применить теорему Коши (
и
непрерывны на
, дифференцируемы в
в
). По теореме Коши существует точка
такая, что
или, так как
,
. Если
, то, очевидно, и
. По условию теоремы
существует, поэтому существует и
и эти пределы равны, т.е.
=
. Заменив во втором пределе с на х, получим
=
.
Заметим, что мы рассмотрели случай , т.е. в последних пределах
справа.
Аналогично рассматривается интервал . Тем самым равенство (7.1) и теорема доказаны.
В теореме 1 − конечная точка. Рассмотрим теперь случай
=
.
Теорема 2. Пусть функции и
дифференцируемы на луче
, причем
, и пусть
. Тогда, если существует
, то существует и
, причем
=
. (7.2)
Доказательство. Положим ,
,
. Тогда функции
и
непрерывны в точке
справа. Кроме того,
,
, т.е. функции
и
дифференцируемы в интервале
, причем
. Поэтому
=│теорема 1│=
. Теорема доказана.
Для случая неопределенности вида справедлива
Теорема 3. Пусть функции и
дифференцируемы на луче
, причем
, и пусть
. Тогда, если существует
, то существует и
, причем
=
.
Без доказательства.
Замечания. 1) Теоремы 1, 2, 3 справедливы во всех случаях, когда
, а
конечен или бесконечен.
2) Теоремы 1, 2, 3 называют правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей.
3) Если при вычислении предела по правилу Лопиталя снова получается неопределенность вила или
, то можно еще раз применить правило Лопиталя и т.д.
4) Применение правила Лопиталя целесообразно комбинировать с известными из главы I способами раскрытия неопределенностей. В этом случае результат получается быстрее.
5) Неопределенности вида можно преобразовать к виду
или
и затем применить правило Лопиталя.
Примеры.
1) Для имеем
функция – бесконечно большая более высокого порядка при
, чем
при любом натуральном значении n.
Поскольку при
, то
и это утверждение остается справедливым для
, где
– любое число.
2) Для и
– бесконечно большая более высокого порядка при
, чем любая логарифмическая функция
.
Таким образом, показательная функция растет быстрее, а логарифмическая функция медленнее, чем степенная.
3)
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 328 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!