![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение в этой точке представимо в виде
, (2.1)
где и не зависит от
, а
при
.
Теорема 1. Функция , дифференцируема в точке
тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную
.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке
, т.е. имеет место равенство (2.1). Разделив его на
, получим
. Переходя к пределу при
, видим, что
, т.е. предел правой части существует и равен А, значит, существует и предел левой части, т.е.
, причем
.
Достаточность. Пусть существует . Тогда по теореме 1 § 16 главы 1
, где
– бесконечно малая функция при
. Отсюда
, т.е. функция дифференцируема в точке
.
Теорема доказана.
Замечание. Из теоремы 1 следует, что понятия функции, имеющей конечную производную, и дифференцируемой функции равносильны. Поэтому дифференцируемой можно назвать функцию, имеющую конечную производную, что и делают авторы некоторых учебников.
Как связаны между собой свойства непрерывности и дифференцируемости функций? Имеет место
Теорема 2.Если функция дифференцируема в точке
, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Поскольку в точке
, имеем
, что и означает непрерывность функции в точке
.
Теорема доказана.
Обратное неверно, то есть существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы.
Пример 1. Покажем, что функция непрерывна, но не дифференцируема в точке
.
Решение. Найдем приращение функции в точке , соответствующее приращению
аргумента. Имеем
. Поэтому
, то есть функция
непрерывна в точке
. С другой стороны,
,
, то есть односторонние производные в точке
не равны, следовательно, данная функция в этой точке не дифференцируема.
В математическом анализе имеются примеры функций, которые в каждой точке числовой прямой непрерывны, но не дифференцируемы. Они имеют сложную конструкцию.
Теорема 3. Пусть функция имеет в точке
производную
, функция
имеет в соответствующей точке
производную
. Тогда сложная функция
имеет в точке
производную
или, короче,
.
Доказательство. Дадим значению приращение
. Тогда получим соответствующее приращение
функции
и приращение
функции
. В силу теоремы 1 имеем
, где
при
.
Отсюда
.
Заметим, что если , то и
по теореме 2, поэтому и
. Следовательно,
.
Поскольку существует предел правой части равенства, то существует и предел левой части и
.
Теорема доказана.
Замечание. Теорема 3 доказана для случая, когда сложная функция имеет одну промежуточную переменную
. Если промежуточных переменных несколько, то производная вычисляется аналогично. Например, если
,
,
, то
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!