Уравнения касательной и нормали к кривой

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Определение производной. Ее механический и геометрический смысл.

Уравнения касательной и нормали к кривой

Рассмотрим сначала две задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о вычислении скорости движущейся точки.

Пусть по прямой движется точка, уравнение движения которой выражает зависимость величины пути, пройденной точкой, от времени. Требуется определить скорость движения точки в момент времени .

расстояние, пройденное точкой за время , ОМ – расстояние, пройденное за время t, – расстояние, пройденное за время , то есть за промежуток времени . Ясно, что . Средняя скорость точки на участке пути равна . Ясно, что при уменьшении средняя скорость будет приближаться к скорости точки в момент , поэтому скоростью точки в момент времени называется предел отношения при :

.

Таким образом,

. (1.1)

2. Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана некоторая кривая L. Дадим сначала определение касательной к кривой L в точке М. Для этого возьмем на кривой точку N и проведем секущую MN. Затем,

у оставляя точку М неподвижной, будем двигать

N точку N по кривой к точке М. Секущая MN при

этом будет поворачиваться вокруг точки М. Если

L она при стремится к некоторому

предельному положению МР, то это предельное

Р положение секущей и называется касательной к

кривой в точке М.

М Определение 1. Прямая МР называется касательной к кривой L в точке М, если угол

О х между нею и секущей стремится к нулю при

неограниченном приближении по кривой точки N к точке М.

Найдем уравнение касательной к кривой в точке . Ясно, что для

этого достаточно найти ее угловой коэффициент , поскольку точка М, через которую проходит касательная, дана. Уравнение, как известно из аналитической геометрии, имеет вид

. (1.2)

к нулю. Таким образом,

. (1.3)

Сравним формулы (1.1) и (1.3). Видим, что в этих формулах мы делаем одно и то же: вычисляем приращение функции, соответствующее приращению аргумента или , составляем их отношение и переходим к пределу при или , только функции в этих формулах имеют разный смысл – величина пути и ордината точки. Выделяя общее в рассмотренных задачах, абстрагируясь от их конкретного содержания, приходим к понятию производной.

Определение 2. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обозначается производная и т.д.

Таким образом,

.

Возвращаясь к задачам, видим, что , то есть скорость V есть производная от пройденного пути S по времени t; , то есть угловой коэффициент касательной к кривой есть производная от ординаты по абсциссе х. Из этих фактов вытекает механический и геометрический смысл производной.

Механический смысл производной: производная – это скорость изменения переменной относительно переменной х.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке , то есть тангенс угла между

касательной и положительным направлением оси Ох.

Пример 1. Найдем производные функций , , .

Решение. Воспользуемся определение производной. Получим

, так как ~ ~ при . В частности, ;

= , так как ~ при ;

, так как ~ при ;

, так как ~ при ;

;

.

Из формулы (1.2) получаем уравнение касательной к кривой в точке :

или . (1.4)

Определение 3. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой в этой точке.

Из аналитической геометрии известно, что ее угловой коэффициент , поэтому уравнение нормали имеет вид

. (1.5)

Пример 2. Напишем уравнения касательной и нормали к кривой в точке (1; е).

Решение. Поскольку , по формулам (1.4) и (1.5) находим

– уравнение касательной к данной кривой в данной точке, – уравнение нормали к данной кривой в данной точке.

Может оказаться так, что предел в определении производной не существует. В этом случае говорят, что функция производной в точке не имеет. Однако может оказаться так, что односторонние пределы существуют, но не равны. В этом случае говорят об односторонней производной функции в точке справа или слева. К односторонней производной мы приходим и тогда, когда точка является концом промежутка. Обозначают односторонние производные и .

В случае, когда производная функции не существует, но существуют односторонние производные, говорят также об односторонних касательных к кривой в соответствующей точке кривой. Если же производная бесконечна, то касательная к кривой в соответствующей точке параллельна оси Оу.

Определение 4. Операция отыскания производной называется дифференцированием. Раздел математического анализа, главным предметом которого является вычисление производных, изучение и использование их свойств, называется дифференциальным исчислением.