Дифференциал функции, его вычисление

Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию . Ее приращение в этой точке имеет вид (см. (2.1))

,

где и не зависит от , а при . Заметим, что если , то слагаемое имеет тот же порядок, что и , и линейно относительно , а слагаемое имеет порядок, высший по отношению к . Поэтому слагаемое есть главная часть приращения .

Определение 1. Главная, линейная относительно , часть приращения функции называется дифференциалом этойфункции и обозначается или .

Таким образом,

,

где и от не зависит.

Как было показано в теореме 1 § 2 , поэтому

. (4.1)

Формула (4.1) справедлива и для функции , поэтому или . Учитывая это, равенство (4.1) можно записать в виде

. (4.2)

Из (4.2) имеем

,

т.е. производную можно рассматривать как частное от деления дифференциала функции на дифференциал аргумента.

Поскольку отличается от на величину , стремящуюся к нулю при , разность можно сделать сколь угодно малой, взяв достаточно малое . Поэтому в приближенных вычислениях часто заменяют на , так как вычислять проще. При этом получается следующая формула для приближенного вычисления значений функции:

.

Из механического и геометрического смысла производной вытекает механический и геометрический смысл дифференциала.

Механический смысл дифференциала: дифференциал – это путь, пройденный телом за время , если его скорость постоянна и равна .

Геометрический смысл дифференциала выясним с помощью рисунка.

касательной, соответствующее приращению аргумента.

Заметим, что есть приращение ординаты самой кривой, соответствующее приращению аргумента.

Дифференциалы конкретных функций вычисляются по формуле (4.2) с помощью таблицы производных. Например, и т.д. Аналогично выводятся правила вычисления дифференциалов. Например, , . Для сложной функции имеем . С другой стороны, , поэтому . Таким образом, и тогда, когда х – независимая переменная (см. (4.2)), и тогда, когда – функция.

Определение 2. Свойство сохранения формулы при замене независимой переменной х функцией называется инвариантностью формы дифференциала.

Это свойство позволяет легко находить дифференциалы сложных функций. Например, .