Производные основных элементарных функций

Теорема 1. Пусть функция , непрерывна, строго монотонна на отрезке и дифференцируема во внутренней точке этого отрезка, причем . Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы обратная функция существует, непрерывна и строго монотонна на отрезке в силу теоремы из § 19 главы 1.

Придадим значению приращение . Тогда получит приращение

(так как функция строго монотонна). Поэтому можно записать . Поскольку при в силу непрерывности обратной функции и и, по условию, существует , имеем . Отсюда следует существование и равенство . Теорема доказана.

Пример 1. Найдем производные функций arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x /

Решение. По теореме 1 имеем (поскольку , имеем и корень берем со знаком плюс).

Аналогично,

,

, .

Теорема 2. Если функции и имеют производные в точке , то в точке имеют производные и функции (если ) и справедливы формулы

а) ; б) ; в) .

Доказательство. а) Пусть . Дадим приращение . Тогда функции u, v, y получат приращения , причем

. Отсюда и и равенство а) доказано.

б) Пусть . Аналогично пункту а) имеем

, , , т.е. имеет место формула б).

в) Пусть . Имеем , , , т.е. имеет место формула в).

Теорема доказана.

Следствия. 1) Если , то .

2) Формула а) имеет место для любого конечного числа слагаемых.

3) .

Доказательство. 1) Поскольку , имеем .

2) Например, имеем .

3) Например, имеем .

В общем случае следствия 2) и 3) доказываются методом математической индукции.

Рассмотрим показательно-степенную функцию , где u и v – некоторые функции от х. Найдем производную функции у в точке, в которой дифференцируемы функции u и v. Для этого представим функцию у в виде .По правилу дифференцирования сложной функции, в силу теоремы 2 и примера 1 § 1 имеем

.

Таким образом,

.

Заметим, что в полученной формуле первое слагаемое есть результат дифференцирования как показательной функции, а второе – как степенной функции. Примененный прием дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием. Им бывает удобно пользоваться и тогда, когда дифференцируемая функция является произведением нескольких сомножителей.

Перейдем теперь к параметрическому заданию функций. Если зависимость функции у от аргумента х устанавливается не непосредственно, а с помощью некоторой третьей переменной t, называемой параметром, формулами

, (3.1)

то говорят, что функция у от х задана параметрически.

Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (3.1) ставят в соответствие каждому значению точку на плоскости. С изменением t точка опишет некоторую кривую на плоскости. Уравнения (3.1) называются параметрическими уравнениями этой кривой. Например, уравнения

(3.2)

являются параметрическими уравнениями эллипса с полуосями а и b.

Если в (3.1) уравнение разрешается относительно t, , то параметрическое задание функции можно свести к явному:

.

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функции и дифференцируемы, причем на некотором промежутке, а для функции существует обратная функция , имеющая конечную производную . Тогда по правилу дифференцирования сложной и обратной функций находим: . Таким образом,

. (3.3)

Например, производная функции, определяемой уравнениями (3.2) имеет вид

.

Уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке , соответствующей значению параметра , получается из уравнения (1.4), если вместо подставить :

,

отсюда при имеем

. (3.4)

Аналогично из уравнения (1.5) получаем уравнение нормали:

или . (3.5)

Запишем теперь сводные таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования, полученных ранее.

Правила дифференцирования

1. . 2. . 3. . 4. .

5. Если , то . 6. Если то .

7. Если – обратная функция, то . 8. .

Таблица производных основных элементарных функций

1. , где . 2. , в частности,

3. . 4. . .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. , в частности, . 12. , в частности, .