Прямое произведение обобщенных функций

Если заданы обычные функции , и , , то естественным образом введено их произведение . Предположим, что функции и являются локально интегрируемыми, тогда их произведение также является локально интегрируемой и верны равенства

Определение 28.1. Пусть и − произвольные обобщенные функции, , . Положим:

. (28.1)

Корректность этого определения вытекает из следующей теоремы

Теорема 28.2. Функция является основной функцией для любой функции .

Доказательство. Для фиксированной точки функция является основной, следовательно, число действительно определено правильно. Покажем, что функция финитна, т.е. имеет компактный носитель.

Обозначим проекцию носителя на первый сомножитель . Оператор проектирования является непрерывным отображением, следовательно, − компакт.

Рассмотрим точку , для нее для любого , так как .

Тогда , и потому . Следовательно, − финитная функция.

Докажем теперь, что функция непрерывна. Пусть в .

Рассмотрим плоскость и ее пересечение с носителем функции : .

- компакт, как замкнутое подмножество компакта. Множества также являются компактными.

Установим теперь, что , т.е. что

1) ,

2) ⇉ на .

Функция непрерывна, поэтому можно окружить каждую точку из прямоугольной окрестностью , где и так, чтобы колебание (разность между наибольшими и наименьшими значениями) функции в этой окрестности было бы меньше . Множество - компактно, поэтому из полученного открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие: . Пусть . Тогда множество содержится в объединении прямоугольников выбранного подпокрытия. Так как в , то , что , . Тогда любая точка вида , начиная с номера , а также точка лежат в , и поэтому для любого .

Значит мы доказали равномерную сходимость к . Следовательно, , и отсюда при . Итак, мы доказали, что функция непрерывна.

Докажем дифференцируемость функции .

Рассмотрим вектор в . Определим функцию . Легко понять, что она финитна и бесконечно дифференцируема. Кроме того, при . Докажем сходимость . Для этого мы должны установить:

1) носитель является компактом.

Множество - это смещение вдоль одной из «осей», параллельных . Пусть , тогда для каждого все множества будут лежать в одном компакте .

2) ⇉ на компакте , так как и − непрерывные функции (это проверяется также, как мы доказали непрерывность функции ).

Мы доказали, что функция дифференцируема по переменной . Аналогично доказывается, ее дифференцируемость по переменным и, более того, существование производных второго, третьего и любого натурального порядка.

Следовательно, функция дифференцируема бесконечное число раз.

■

Теорема 28.3. Соответствие − линейное и непрерывное отображение пространства в .

Доказательство. Запишем преобразование в виде: . Линейность этого преобразования очевидна. Докажем его непрерывность. Достаточно показать, что из следует . Условие означает, что выполнены два условия.

1) Существует компакт , содержащий носители всех функций

2) .

Обозначим − проекцию компакта на первый сомножитель в произведении . Тогда

3) ,

4) ,

что и требовалось показать. ■