Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается и определяется как решение уравнения (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ; однако также . Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом )^[16], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:

Тогда находится по формуле^[17]:

Здесь — вещественный логарифм, — произвольное целое число.

Свойства логарифмов:

1° - основное логарифмическое тождество.

2°

3°

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4° - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

9° - переход к новому основанию.

15) Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени.

· В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

· В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

· В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.

Свойства[править | править исходный текст]

График экспоненты

·

·

·

·

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

16) Логарифмическая функция[править | править исходный текст]

Графики логарифмических функций

Логарифмическая функция обратна к показательной

Основные характеристики[править | править исходный текст]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию . Она определена при . Область значений: . Эта кривая часто называется логарифмикой ^[. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, большими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (cм. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при (см. далее графики) и строго убывающей при . График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

при

при .

Производная логарифмической функции равна:

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения^[10]:

17) Показательные уравнения и неравенства – это такие уравнения и неравенства, в которых неизвестная находится в показателе степени. Общие приемы решений – разложение на множители, замена переменных, использование свойств функций, использование графиков. Необходимо знать что такое степень с рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем, логарифм.

Степенью числа a>0 с рациональным показателем r=m/n, где m – целое число, а n – натуральное (n>1), называется число

Свойства степени с рациональным показателем те же, что и свойства степени с натуральным показателем.

Самыми сложными в этом разделе считаются такие показательные уравнения и неравенства, в которых переменная “х” присутствует и обычным образом и в показателе степени одновременно.

18) Логарифмическое уравнение – это уравнение вида

log_a b (x) = log_a c (x), где а > 0, a ≠ 1.

В процессе решения логарифмического уравнения log_a b (x) = log_a c (x) надо просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное уравнение b (x) = c (x).

Если b (x) > 0 и c (x) > 0, то:

- при a > 1 логарифмическое неравенство log_a b (x) > log_a c (x) равносильно неравенству b (x) > c (x);

- при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log_a b (x) > log_a c (x) равносильно неравенству с противоположным смыслом b (x) < c (x).

19) Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение ‘); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии (см. параграф «Длина дуги» в разделе "Геометрическое место точек. Круг и окружность"»), длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением:

= l / r.

20) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A=a/b; sin C=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=c/b; cos C= a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A=a/c; tg C=c/a.

21) Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся: