Определение и свойства колец

Определение: кольцо– алгебраическая структура с 2-мя алгебраическими операциями.<K,+,·>
При этом выполняется следующее условия по отношению к слож.

<K,+>-кольцо является абелевой группой(коммунитативной)

<K,·> -полугруппа

Выполняется законом дистрибутивности

Полугруппа алгебраической структуры одной бинарной операции которая обладает свойством ассоциативности:

<K,+>-0(единичный элемент)-а(противоположный элемент)

<K,·>
множество целых чисел <Z,+,·> образуют кольцо f(x)=a₀xⁿ+a^n-1+….a_n

Определение: подкольцо множества L подмножества K L € Kявляется подколькцо, если L является кольцом.

Теорема: L € K подкольцом, когда ¥а,b€L: a-b€L и ab€L

<L,·> a,b€L ab€L (ab)c=a(bc)

Дистрибутивность a(b+c)=ab+ac€L

L-множество чисел <Z,+,·>

a=2nb=2m

a-b=2(n-m) €L

ab=4nm€L
Свойства колец (R,+,.)

1.Так как (R,+) - абелева группа, то: существует, и единственный, нейтральный элемент относительно сложения 0; для любого существует, и единственный, противоположный элемент -a (т. е. a+(-a)=0); уравнение x+b=a имеет, и единственное, решение x=a-b=a+(-b).

2.Справедлив обобщенный закон ассоциативности для умножения, т. е. результат произведения для n сомножителей не зависит от расстановки скобок; единичный элемент 1 - единственный нейтральный элемент (см. теорему 1.3.2).

3.Проводя индукцию по n, убеждаемся в том, что (a1+...+an)b = a1b+...+anb; b(a1+...+an) = ba1+...+ban.

4.Так как a0=a(0+0)=a0+a0, то a0=0. Аналогично, 0a=0.

5.Так как ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0, то (-a)b=-ab. Аналогично, a(-b)=-ab.
Поэтому (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab.

6.(a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c=ac-bc, c(a-b)=c(a+(-b))=ca+c(-b)=ca-cb, т. е. дистрибутивность для разности.