Идеалы, классы вычетов, фактор-кольца

Пусть K-коммутативное кольцо <K,+,·> ab=ba

Подкольцо L € K называется идеалом, если ¥a,b: a€L, b€ a€L, b€K LK € L

Пусть R - кольцо. Подмножество называется левым идеалом кольца R, если:

I - подгруппа аддитивной группы (R,+) кольца R;

для любого элемента (т. е. для всех).

-Аналогично определяется правый идеал.

Если подмножество I в кольце R является и левым и правым идеалом, то I называется двусторонним идеалом кольца R (т. е. I - подгруппа в (R,+),, для всех). Для двустороннего идеала I кольца R будем использовать обозначение.

Если R - коммутативное кольцо, то подмножество является идеалом кольца R,
называемым главным идеалом, порожденным элементом.

Множество всех чисел сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается или. Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов.

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел, то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается или.

Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве:Относительно этих операций множество является конечным кольцом, а для простого n — конечным полем.

Факторкольцо —это кольцо классов вычетов некоторого кольца по модулю его идеала.

Классы вычетов по модулю идеала определяются как смежные классы кольца по аддитивной подгруппе. Класс вычетов, содержащий элемент обычно обозначается. Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.