Подгруппы. Пересечение подгрупп. Циклические подгруппы

Рассмотрим в группе G некоторое подмножество элементов. Может оказаться, что само является группой относительно той же бинарной операции, которая заданана G.

В этом случае H называют подгруппой группы G.
Теорема: для любого элемента а группы G множество {а}={a^k|K=0,±1,±2…..}≤G

Является абелевой подгруппой.

Теорема: пересечение 2-х подгрупп является подгруппой.

Тогда a,b€H∩P=> ab€H и ab€P => ab€H∩P
e€H и e€P => e€H∩P, a€H∩P=>a^-1€H€P=>a^-1€H∩P

Определение: подруппа {а} называется циклической подгруппой порожденной элементом а.

Пример: G –подгруппа целых чисел относительно операции сложения. Подмножество четных чисел является подгруппой G/подгруппа четных чисел является циклической подгруппой {2}

Определение: Группа G называется циклической, если совпадает с одной из своих циклических подгрупп, т.е. множество можно представить в виде:
G={a}={a^k|k>0±1,±2,…}

41. Теорема о подгруппе циклической группы.

42. Порядок элемента группы. Теорема о циклической подгруппе.

43. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

44. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро гомоморфизма. Изоморфизм циклических групп.

45. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.

41.Теорема о подгруппе циклической группы.

Теорема: Любая подгруппа циклической группы является циклической
Доказательство: Пусть H подгруппа группы G={а}.Тогда а^H€H=>(a^k)-1=a^-k€H

Пусть k-минимальное положительное число такое, что a^k €H.Пусть aⁿ€H,n>k, и n не делится на k.Тогда n=pk+r,где 0<r<k, a^r=a^ra^-pk€H, что противоречит выбору k следовательно H={a^k}

42. Порядок элемента группы. Теорема о циклической подгруппе.

Определение: порядком элемента а называется наименьшее положительное число n, такое что aⁿ=e.

Теорема: пусть а имеет порядок n, тогда {a}={e,a,a²,….a^n-1}

Доказательство: все элементы последовательности e,a,a²,….a^n-1 различны.

Пусть a^k=a^r k,r<h, k>r. Тогда a^k-r =e, k-r<n. Следовательно порядок элемента а меньше n,что противоречит исходному условию.

Любая другая степень а положительная или отрицательная совпадает с одним из элементов этой последовательности! Пусть |k|≥n. Тогда k=np+r, 0≤r<n,

a^k=(aⁿ)^pa^r=e^pa^r =a^r€{ e,a,a²,….a^n-1}. Следовательно {a}={ e,a,a²,….a^n-1}.

Определение: подгруппа {а} называется циклической подгруппой порожденной элементом а.