Понятие алгебраической операции и алгебраической структуры

Определение: отображение d:Aⁿ->A называется n-арной алгебраической операцией на множестве А

Определение: множество А с заданным на нем алгебраическими операциями 2,….α_n называется алгебраической структурой и обозначается

<A; α,,……, α_n>

Пример:множество действительных чисел, с операциями сложения и умножения образуют алгебраическую структуру <R;+,·>

Бинарную алгебраическую операцию будем обозначать: a*b, a+b,где а,b € A

Определение: Алгебраическая структура называется конечной, если число элементов конечно.

Конечную алгебраическую структуру <А,*>,A={a_1,…..a_n}с бинарной операцией *

Можно задать таблицей Кэли:

*	a1	·	·	·	an
a1	b11	·	·	·	b1n
·		·			·
·			·		·
·				·	·
an	bn1	·	·	·	bnn

Где b_ij€ A

Пример А={0;1;2}, a+b mod3

+

Определение: Алгебраическая операция называется Коммунитативной, если ab=ba. Называется Ассоциативной, если (ab)c=a(bc)

Определение: Под аⁿ понимается аⁿ = .Справедливое отношение.

Определение: Элемент с тайной что для любого ae=ea называется единичным (натуральным)
Единичный элемент также обозначается а^°. Единичный элемент всегда единственный.
Пусть существует 2 единичных элемента e₁ и е_2.Тогда по определению единичного элемента: e₁e₂=e¹=e²=e

Определение: обратным для а называется элемент а^-1 такой, что аа^-1=a^-1a=e
Справедливо соотношение (аⁿ)^-1=(a^-1)ⁿ=a^-n