Определение и свойства групп

Определение: Алгебраическая структура G= < A;·> c бинарной операцией называется группой, если в G существует единичный элемент и для каждого элемента G существует обратный.
Коммутативной группу принято называть абелевой группой.

также называемая абелева, — группа, в которой оператор обладает теми же четырьмя свойствами для групп плюс дополнительным — коммутативностью.

(1.Замкнутость. Если a и b — элементы G, то c = a • b — также элемент G. Это означает, что результат применения операции с любыми двумя элементами множества есть элемент этого множества.

2.Ассоциативность. Если a, b и c — элементы G, то верно (a• b) • c = a• (b •c) Другими словами, не имеет значения, в каком порядке мы применяем операцию более чем с двумя элементами.

3.Коммутативность. Для всех a и b в G мы имеем a • b = b • a. Обратите внимание, что это свойство должно быть верно только для коммутативной группы.

4.Существование нейтрального элемента. Для всех элементов в G существует элемент e, который называется нейтральным элементом, такой, что e • a = a • e = a.

5.Существование инверсии. Для каждого a в G существует элемент a', называемый инверсией, такой, что a • a' = a' • a = e.)

Пример: множество рациональных чисел относительно операций сложения образуют абелеву группу

Пример: множество невырожденных квадратных матриц одной размерности образуют группу относительно операции умножения. Единичным элементов является единичная матрица. Данная группа не является абелевой.

Определение: Группа называется мультинимативной(?????),если алгебраическая операция имеет смысл произведения. В этой группе алгебраическая операция обозначается «·», нейстральный элемент -1, а обратный элемент - a^-1 , произведение n элементов а……..а обозначается аⁿ.

Определение: группа называется аддитивной, если алгебраическая операция имеет смысл сложения. В этой группе алгебраическая операция обозначается +, нейстральный элемент -0,обратный элемент называется противоположным и обозначается –а, сумма n элементов.

Группа называется конечного порядка n, если она содержит ровно n различных элементов.

Пример: пусть х- конечное множество |х|=n, F-множество всех биентивных(???) функций f:x->x. Тогда < F;0> есть конечная группа с операцией
Порядок группы равен n!

Теорема: пусть G группа
1)Обратный элемент для любого а€G является единственным.
2)Уравнение ax=b для любого a,b € G имеет единственное решение х=а^-1b.

Аналогично уравнение ха=b имеет единственное решение х=ba^-1
3)Справедливо равенство (ab)^-1=b^-1a^-1

Определение: пусть G группа подмножество H≤G называется G,если H само является группой.